Обратная спектральная задача для одномерного оператора Штарка на полуоси

А. Р. Лятифова; А. Х.  Ханмамедов

doi:10.37863/umzh.v72i4.2302

А. Р. Лятифова Ін-т математики та механіки НАН Азербайджану, Баку; Бакін. гос.ун-т; Ун-т Азербайджан, Баку
А. Х. Ханмамедов Ін-т математики та механіки НАН Азербайджану, Баку; Бакін. гос.ун-т; Ун-т Азербайджан, Баку

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i4.2302

Ключові слова: обернена спектральна задача, оператор перетворення, оператор Штарка

Анотація

УДК 517.91

Розглянуто оператор Штарка $T=-\dfrac{d^{2} }{dx^{2} } +x+q(x)$ на півосі $0\le x<\infty $ з граничною умовою Діріхле в нулі. Методом оператора перетворення вивчено пряму й обернену спектральні задачі. Отримано основне інтегральне рівняння оберненої задачі і доведено однозначну розв'язність цього рівняння. Наведено ефективний алгоритм відновлення потенціалу збурення.

Біографічна довідка автора

А. Х. Ханмамедов, Ін-т математики та механіки НАН Азербайджану, Баку; Бакін. гос.ун-т; Ун-т Азербайджан, Баку

Посилання

Avron, J. E.; Herbst, I. W. Spectral and scattering theory of Schrödinger operators related to the Stark effect. Comm. Math. Phys. 52 (1977), no. 3, 239--254. https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103900538

Calogero, F.; Degasperis, A. Inverse spectral problem for the one-dimensional Schrödinger equation with an additional linear potential. Lett. Nuevo Cimento. (2) 23, no. 4, 143--149 (1978). https://inspirehep.net/literature/131907

Lin, Yuan Qu; Qian, Mian; Zhang, Qing. Inverse scattering problem for one-dimensional Schrödinger operators related to the general Stark effect. Acta Math. Appl. Sinica (English Ser.) 5, no. 2, 116--136 (1989). https://doi.org/10.1007/BF02009745 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02009745

Li, Yi Shen. One special inverse problem of the second order differential equation on the whole real axis. Chinese Ann. Math. 2, no. 2, 147--156 (1981). https://doi.org/10.1007/bf03023059 DOI: https://doi.org/10.1007/BF03023059

Kachalov, A. P.; Kurylëv, Ya. V. The transformation operator method in the inverse scattering problem. The one-dimensional Stark effect. (Russian) ; translated from Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 179 (1989), Mat. Vopr. Teor. Rasprostr. Von. 19, 73--87, 189 J. Soviet Math. 57, no. 3, 3111--3122 (1991), https://doi.org/10.1007/BF01098978 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01098978

Kh. Kh. Murtazin, T. G. Amangil`din, Асимптотика спектра оператора Штурма – Лиувилля (Russian) [Asimptotika spektra operatora Shturma – Liuvillya], Mat. sb., 110 (152), No 1, C. 135 – 149 (1979). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=2436&option_lang=rus

Herbst, Ira W. Dilation analyticity in constant electric field. I. The two body problem. Comm. Math. Pays. 64 (1979), no. 3, 279--298. https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103904724

Jensen, Arne. Perturbation results for Stark effect resonances. J. Reine Angew. Math. 394, 168--179 (1989). https://doi.org/10.1515/crll.1989.394.168 DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1989.394.168

Its, A.; Sukhanov, V. A Riemann-Hilbert approach to the inverse problem for the Stark operator on the line. Inverse Problems. 32 (2016), no. 5, 055003, 27 pp. https://doi.org/10.1088/0266-5611/32/5/055003 DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/32/5/055003

A. M. Savchuk, A. A. Shkalikov, Спектральные свойства комплексного оператора Эйри на полуоси (Russian) [Spektral`ny`e svojstva kompleksnogo operatora E`jri na poluosi], Funkczion. analiz i ego pril., 51, No 1, 82 – 98 (2017). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=3264&option_lang=rus DOI: https://doi.org/10.4213/faa3264

Korotyaev, Evgeny L. Resonances for 1d Stark operators. J. Spectr. Theory. 7, no. 3, 699--732 (2017). https://doi.org/10.4171/JST/175 DOI: https://doi.org/10.4171/JST/175

Korotyaev, Evgeny L. Asymptotics of resonances for 1D Stark operators. Lett. Math. Phys. 108, no. 5, 1307--1322 (2018). https://doi.org/10.1007/s11005-017-1033-0 DOI: https://doi.org/10.1007/s11005-017-1033-0

M. G. Makhmudova, A. Kh. Khanmamedov, О спектральных свойствах одномерного оператора Штарка на полуоси (Russian) [O spektral`ny`kh svojstvakh odnomernogo operatora Shtarka na poluosi], Ukr. mat. zhurn., 71, no. 11, 1579 – 1584 (2019). http://umj-old.imath.kiev.ua/article/?lang=ua&article=11545

M. G. Gasy`mov, B. A. Mustafaev, Обратная задача рассеяния для ангармонического уравнения на полуоси (Russian) [Obratnaya zadacha rasseyaniya dlya angarmonicheskogo uravneniya na poluosi], Dokl. AN SSSR, 228, no. 11, 321 – 323 (1976). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=40056&option_lang=rus

Chelkak, Dmitri; Kargaev, Pavel; Korotyaev, Evgeni. Inverse problem for harmonic oscillator perturbed by potential, characterization. Comm. Math. Pays. 249, no. 1, 133--196 (2004). https://doi.org/10.1007/s00220-004-1105-8 DOI: https://doi.org/10.1007/s00220-004-1105-8

Chelkak, Dmitry; Korotyaev, Evgeny. The inverse problem for perturbed harmonic oscillator on the half-line with a Dirichlet boundary condition. Ann. Henri Poincaré. 8 (2007), no. 6, 1115--1150. https://doi.org/10.1007/s00023-007-0330-z DOI: https://doi.org/10.1007/s00023-007-0330-z

Guseĭnov, I. M.; Khanmamedov, A. Kh.; Mamedova, A. F. Inverse scattering problem for the Schrödinger equation with an additional quadratic potential on the entire axis. (Russian); translated from Teoret. Mat. Fiz. 195, no. 1, 54--63 (2018), Theoret. and Math. Pays. 195 (2018), no. 1, 538--547 https://doi.org/10.4213/tmf9423 DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9423

I. M. Gusejnov, A. Kh. Khanmamedov, К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера с растущим потенциалом (Russian) [K obratnoj zadache rasseyaniya dlya odnomernogo uravneniya Shredingera s rastushhim potenczialom], Ukr. mat. zhurn., 70, No 10, 1390 – 1402 (2018). http://umj-old.imath.kiev.ua/article/?lang=ua&article=11337

Bagirova, Sevinj M.; Khanmamedov, Agil Kh. The inverse spectral problem for the perturbed harmonic oscillator on the entire axis. Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azeri. 44, no. 2, 285--294 (2018). https://doi.org/10.1016/j.acha.2016.05.001 DOI: https://doi.org/10.1016/j.acha.2016.05.001

M. Abramovich, I. Stigan, Справочник по специальным функциям (Russian) [Spravochnik po speczial`ny`m funkcziyam], Nauka, Moskva (1979).http://booksshare.net/index.php?id1=4&category=math&author=abramovich-m&book=1979

Marchenko, V. A. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. (Russian) [[Sturm-Liouville operators and their applications]] Izdat. ``Naukova Dumka'', Kiev, 1977. 331 pp. https://www.twirpx.com/file/543471/

B. M. Levitan, Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям. II (Russian) [Ob asimptoticheskom povedenii spektral`noj funkczii samosopryazhennogo differenczial`nogo uravneniya vtorogo poryadka i o razlozhenii po sobstvenny`m funkcziyam. II], Izv. AN SSSR, seriya mat., 19 33 – 58 (1955). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=3354&option_lang=rus

N. G. Mamedova, A. Kh. Khanmamedov, One remark on the eigenvalues of the Schrodinger operator with growing potential, Casp. J. Appl. Math., Ecol. and Econ., 2, 2 – 5 (2019).

Berezin, F. A.; Shubin, M. A. Уравнение Шредингера. (Russian) [[The Schrödinger equation]] Moskov. Gos. Univ., Moscow, 1983. 392 pp. https://obuchalka.org/20190617110255/uravnenie-shredingera-berezin-f-a-shubin-m-a-1983.html

B. M. Levitan, I. S. Sargsyan, Введение в спектральную теорию (Russian) [Vvedenie v spektral`nuyu teoriyu], Nauka, Moskva (1970). https://www.twirpx.com/file/175479/

E. Ch. Titchmrash, Теория функций (Russian) [Teoriya funkczij], Nauka, Moskva (1980) .https://obuchalka.org/2014120781105/teoriya-funkcii-titchmarsh-e-1980.html

Levitan, B. M. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. (Russian) [[Inverse Sturm-Liouville problems]] ``Nauka'', Moscow, 1984. 240 pp. https://www.libex.ru/detail/book916756.html