Paley – Wiener type theorem for functions with values in Banach spaces

Анотація

УДК 517.5

Теорема типу Пелi – Вiнера для функцiй iз значеннями у банахових просторах

Нехай $(\mathbb{X}, \|.\|_{\mathbb{X}})$ — комплексний простiр Банаха i $L(\mathbb{X})=BC (\mathbb{R} \to \mathbb{X})$ — множина всiх обмежених неперервних $\mathbb{X}$ -значних функцiй$f: \mathbb{R} \to \mathbb{X}$.

Для $f\in L(\mathbb{X})$ вводиться позначення$\|f\|_{L(\mathbb{X})}=\sup\{ \|f(x)\|_{\mathbb{X}}\colon x\in\mathbb{R}\}.$ Тодi $(L(\mathbb{X}),\|.\|_{L(\mathbb{X})})$ сам є банаховим простором. Спектр Берлiнга $\mathrm{Spec}(f)$ функцiї $f\in L(\mathbb{X})$ визначається як
$$
\mathrm{Spec}(f)=\left\{\zeta\in\mathbb{R}\colon
\forall\epsilon>0\ \exists\varphi\in\mathcal{S}
(\mathbb{R})\colon\mbox{supp}\,\widehat{\varphi}
\subset(\zeta-\epsilon,\zeta+\epsilon),
\varphi*f\not\equiv 0\right\}.
$$
Отримано таку теорему типу Пелi – Вiнера для функцiй iз значеннями у просторах Банаха:
Нехай $f\in L(\mathbb{X})$ i $K$ — довiльна компактна множина в $\mathbb{R}.$ У цьому випадку $\mbox{Spec}(f)\subset K$ тодi й лише тодi, коли для будь-якого $\tau > 0$ iснує стала $C_\tau < \infty$ така, що
$$
\|P(D)f\|_{L(\mathbb{X})}\leq C_\tau
\|f\|_{L(\mathbb{X})}\sup\limits_{x\in K^{(\tau)}} |P(x)|
$$
для всiх полiномiв з комплексними коефiцiєнтами $P(x),$, де диференцiальний оператор $P(D)$ отримано з $P(x)$ замiною $x \to -i\,\dfrac{d}{dx},$ $\dfrac{d}{dx}$ — звичайна похiдна у $L(\mathbb{X})$ i $K^{(\tau)}$ — $\tau$ -окiл для $K$ у $\mathbb{C}$.
Також наведено теорему типу Пелi – Вiнера для iнтегральних операторiв та деяких спецiальних компактiв $K$.