Наближення гладких функцій зваженими середніми <em class="a-plus-plus">N</em>-точкових апроксимант паде

Анотація

Розглянемо функцію, яку ми хочемо апроксимувати на iнтервалi $[x_1,x_N]$, якщо відомі $p_1 > 1, p_2,... , p_N$ коефіцієнтів розкладу $f$ у точках $x_1, x_2,... , x_N$. Спочатку ми знаходимо дві сусідні $N$-точкові апроксиманти Паде (НАП) функції $f$, а саме $f_1 = [m/n]$ та $f_2 = [m — 1/n]$ для $f$. Другу НАП знаходимо за обмеженою кількістю інформації шляхом видалення останнього коефіцієнта розкладу $f$ у точці $x_1$. Припустимо, що $f$ — достатньо гладка функція (наприклад, опуклого типу) та (це суттєво) $f_1$ i $f_2$ обмежують $f$ у кожному інтервалі $]x_i, x_{i+1}\[$ з протилежних сторін (умову існування таких двосторонніх апроксимант ми називаємо TSE властивістю $f$). А priori необов'язково відомо, що це припущення виконується для заданої функції $f$. Водночас, як показано на прикладах, що наведені нижче, воно виконується для багатьох функцій, цікавих з практичної точки зору. В такому випадку подальші кроки стають відносно простими. Виберемо відому функцію s з TSE властивістю та значеннями $s(x_i)$ настільки близькими до значень $f(x_i)$, наскільки це можливо. Далі ми знаходимо апроксиманти $s_1 = [m/n]$ та $s_2 = [m — 1/n]$ зазначеннями в точках $x_i$ і визначаємо для будь-якого $x$ вагову функцію a з рівняння $s = \alpha s_1 + (1 — \alpha)s_2$. Застосовуючи цю вагу при знаходженні зваженого середнього $\alpha f_1 + (1 — \alpha)f_2$, отримуємо значно покращене наближення $f$.