Задача Боянова-Найдьонова для функцій з несиметричними обмеженнями на старшу похідну

Анотація

Для заданих $r \in \NN$, $p, \alpha, \beta, \mu > 0$, розв'язанi
екстремальнi проблеми
$$
\int\nolimits_{a}^{b} x^q_{\pm}(t)dt \to \sup, \;\;\;\; q\ge p,\;
$$
на класi пар $(x, I)$ функцiй $x\in L^r_{\infty}$ та вiдрiзкiв
$I=[a,b] \subset \RR$, для яких виконанi нерiвностi $ -\beta \le
x^{(r)}(t) \le \alpha $ майже для всiх $t \in \RR $, обидвi умови $
L(x_{\pm})_p \le L(\varphi_{\lambda,r}^{\alpha, \beta})_{\pm})_p $,
та вiдповiдна вимога $ \mu \left( {\rm supp}_{[a, b]} x_{+} \right)
\le \mu$ або $ \mu \left( {\rm supp}_{[a, b]} x_{-} \right) \le
\mu$, де
$$ L(x)_p:=\sup
\left\{\left\|x \right\|_{L_p[a,b]}: \; a, b \in \RR,\;
|x(t)|>0,\;t\in (a, b) \right\},
$$
$ {\rm supp}_{[a, b]} x_{\pm}:= \{t\in [a, b]: x_{\pm}(t) > 0\} $,
$\varphi_{\lambda,r}^{\alpha, \beta}-$ несиметричний
$(2\pi/\lambda)$-перiодичний сплайн Ейлера порядку $r$. Як наслiдок,
розв'язанi тi ж самi екстремальнi проблеми для промiжних похiдних
$x^{(k)}_{\pm}$, $k=1,...,r-1$, при $q \ge 1$.