Проблеми крайової керованості для рівняння коливання неоднорідної струни на півосі

Анотація

Рассматривается волновое уравнение на полуоси: $w_{tt}(x,t) = w_{xx}(x,t) — q(x)w(x,t), x > 0$. Это уравнение управляется одним из двух граничных условий:$w(0,t) = u_0(t)$ или $w_x(0,t) = u_1(t), t \in (0,T)$, где $u_0, u_1$ — управления. В обоих случаях потенциал q удовлетворяет условию q ∈ $q \in C[0, \infty)$, управления принадлежат классу $L^{\infty}$ и время $T >$ 0 фиксировано. Управляемые системы рассмотрены в пространствах Соболева. С помощью операторов, сопряженных к операторам преобразования для задачи Штурма – Лиувилля, получены необходимые и достаточные условия 0- и $\varepsilon$-управляемости для этих систем. Управления, решающие поставленные задачи, найдены в явном виде.