Про покращення швидкостi збiжностi узагальнених полiномiв бiбербаха в областях з нульовими кутами

Анотація

Нехай $\mathbb{C}$ — комплексна площина, $\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \bigcup \{\infty\}$, $G \subset \mathbb{C}$ — скiнченна жорданова область iз $0 \in G$, $L := \partial G$, $\Omega := \overline{\mathbb{C}} \ \overline{G}$ i $w = \varphi(z)$ — конформне вiдображення $G$ на круг $B(0, \rho) := \{w : \; |w | < \rho_0\}$, нормоване умовами $\varphi(0) = = 0,\; \varphi'(0) = 1$, де $\rho_0 = \rho_0 (0, G)$ — конформний радiус $G$ вiдносно 0. Покладемо $\varphi \rho(z) := \int^z_0 [\varphi'(\zeta)]^{2/p}d\zeta$. Нехай $\pi_{n,p}(z)$ — узагальнений полiном Бiбербаха степеня $n$ для пари $(G, 0)$, що мiнiмiзує iнтеграл $\int\int_G|\varphi'(z) - P'_n(z)|^p d \sigma_z$ у класi всiх полiномiв степеня $\text{deg} P_n \leq n$ таких, що $P_n(0) = 0$, $P'_n(0) = 1$. Вивчається рiвномiрна збiжнiсть узагальнених полiномiв Бiбербаха $\pi_{n,p}(z)$ до $\varphi \rho(z)$ у $\overline{G}$ iз внутрiшнiми та зовнiшнiми нульовими кутами, що визначаються в залежностi вiд властивостей граничних дуг та степеня їхнього дотику. Зокрема, для полiномiв Бiбербаха отримано покращенi оцiнки швидкостi збiжностi у цих областях.