Про леми типу Бернштейна – Уолша в областях комплексної площини

Анотація

Припустимо, що $G \subset C$ — скiнченна область, що обмежена кривою Жордана $L := \partial G,\quad \Omega := \text{ext} \; \overline{G}$ (вiдносно $\overline{C}$), $\Delta := \{z : |z| > 1\}; \quad w = \Phi(z)$ — унiвалентне конформне вiдображення $\Omega$ на $\Phi$, нормоване з використанням $\Phi(\infty) = \infty,\quad \Phi'(\infty) > 0$. Нехай $A_p(G),\; p > 0$, позначає клас функцiй $f$, якi є аналiтичними в $G$ i задовольняють умову $$||f||^p_{A_p(G)} := \int\int_G |f(z)|^p d \sigma_z < \infty,\quad (∗)$$ де $\sigma$ — двовимiрна мiра Лебега. Припустимо, що $P_n(z)$ — довiльний алгебраїчний полiном степеня не бiльше $n$. У вiдомiй лемi Бернштейна – Уолша стверджується, що $$P_n(z)k ≤ |\Phi(z)|^{n+1} ||P_n||_{C(\overline{G})}, \; z \in \Omega. \quad (∗∗)$$ По-перше, розглянуто задачу оцiнювання (∗∗) для норми (∗). По-друге, продовжено дослiдження оцiнювання (∗∗) у випадку, коли норма $||P_n||_{C(\overline{G})}$ замiнюється нормою $||P_n||_{A_2(G)}$ для деяких областей комплексної площини.