Про тонко-повнi iдеали на групах

Анотація

Нехай $F \subset \mathcal{P}_G$ — iнварiантна злiва нижня сiм’я пiдмножин групи $G$. Пiдмножина $A \subset G$ називається $\mathcal{F}$-тонкою, якщо $xA \bigcap yA \in \mathcal{F}$ для будь-яких рiзних елементiв $x, y \in G$. Сiм’я всiх $\mathcal{F}$-тонких пiдмножин $G$ позначається як $\tau(\mathcal{F})$. Якщо $\tau(\mathcal{F}) = \mathcal{F}$, то $\mathcal{F}$ називається тонко-повною. Тонким поповненням $\tau*(\mathcal{F})$ сiм’ї $\mathcal{F}$ є найменша тонко-повна пiдсiм’я з $\mathcal{P}_G$, що мiстить $\mathcal{F}$. Як вiдповiдь на питання Луценка та Протасова доведено, що множина $A \subset G$ належить сiм’ї $\tau*(G)$ тодi i тiльки тодi, коли для будь-якої послiдовностi $(g_n)_{n\in \omega}$ ненульових елементiв $G$ iснує $n\in \omega$ таке, що $$\bigcap_{i_0,...,i_n \in \{0, 1\}}g_0^{i_0}...g_n^{i_n} A \in \mathcal{F}.$$ Також доведено, що для адитивної сiм’ї $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}_G$ її тонке поповнення $\tau*(\mathcal{F})$ є адитивним. Якщо група $G$ злiченна та без скруту, поповнення $\tau*(\mathcal{F}_G)$ iдеалу $\mathcal{F}_G$ скiнченних пiдмножин групи $G$ є коаналiтичним i не борелевим.