Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения

Анотація

Для довiльних $[\alpha, \beta] \subset \textbf{R}$ i $p > 0$ розв’язанo екстремальну задачу $$\int_{\alpha}^{\beta}|x^{(k)}(t)|^q dt \rightarrow \sup, \quad q \geq p, \quad k = 0, \quad \text{або} \quad q \geq 1, \quad k \geq 1,$$ на множинi функцiй $S^k_{\varphi}$ таких, що $\varphi ^{(i)}$ — функцiя порiвняння для $x^{(i)},\; i = 0, 1, . . . , k$, i (у випадку $k = 0$) $L(x)_p \leq L(\varphi)_p$, де $$L(x)_p := \sup \left\{\left(\int^b_a|x(t)|^p dt \right)^{1/p}\; :\; a, b \in \textbf{R},\; |x(t)| > 0,\; t \in (a, b) \right\}.$$ Як наслiдок, вказану задачу розв’язано на соболєвських класах та на обмежених пiдмножинах просторiв тригонометричних полiномiв i сплайнiв.