Про максимальний оператор $(C, α)$-середніх рядів Уолша - Качмажа - Фур'є

Анотація

Саймон довів [див. J. Approxim. Theory. - 2004. - 127. - P. 39 - 60], що максимальний оператор $σ^{α,κ,*}$ $(C, α)$-середніх рядів Уолша - Качмажа - Фур'є є обмеженим з маргингального простору Харді $H_p$ до простору $L_p$ для $p > 1 / (1 + α), \;0 < α ≤ 1$. Нещодавно Гат і Гогінава довели, що цей результат про обмеженість не виконується, якщо $p ≤ 1 / (1 + α)$. Однак у випадку кінцевої точки $p = 1 / (1 + α )$ максимальний оператор $σ^{α,κ,*}$ к обмеженим з мартипгального простору Харді $H_{1/(1+α)}$ до простору слабкого $L_{1/(1+α)}$. Головна ме та даної статіі —довести більш вагомий результат, тоб то довес ти, що для будь-якого $0 < p ≤ 1 / (1 + α)$ існує мартингал $f ∈ H_p$ такий, що максимальний оператор $σ^{α,κ,*} f$ не належить простору $L_p$.