Комонотонне наближення двічі диференційовних періодичних функцій

Анотація

В случае, когда дважды непрерывно дифференцируемая на действительной оси $ℝ$ $2π$-периоди-ческая функция $f$ изменяет монотонность в различных фиксированных точках $y_i ∈ [− π, π), i = 1,…, 2s, s ∈ ℕ $ (т. е. на $ℝ$ есть множество $Y := {y_i } i∈ℤ$ точек yі = $y_i = y_{i+2s} + 2π$ таких, что на $[y_i , y_{i−1}]$ $f$ не убывает, если $i$ нечетное, и не возрастает, если $i$ четное), для каждых натуральных $k$ и $n, n ≥ N(Y, k) = const$, построен тригонометрический полином $T_n$ порядка $≤n$, который изменяет свою монотонность в тех же точках $y_i ∈ Y$ , что и $f$, и такой, что $$∥f−T_n∥ ≤ \frac{c(k,s)}{n^2} ω_k(f″,1/n)$$ $$(∥f−T_n∥ ≤ \frac{c(r+k,s)}{n^r} ω_k(f^{(r)},1/ n),f ∈ C^{(r)},\; r ≥ 2),$$ где $N(Y, k)$ зависит только от $Y$ и $k, c(k, s)$ — постоянная, зависящая только от $k$ и $s, ω k (f, ⋅)$ — модуль гладкости порядка $k$ функции $f$ и $‖⋅‖$ — max-норма.