Негативний результат у поточковому 3-опуклому наближенні многочленами

Анотація

Пусть $Δ^3$ является множеством трижды непрерывно дифференцируемых функций на $[−1, 1]$ таких, что $f'''(x) ≥ 0,\; x ∈ [−1, 1]$. Доказано, что для произвольных $n ∈ ℕ$ и $r ≥ 5$ существует функция $f ∈ C^r [−1, 1] ⋂ Δ^3 [−1, 1]$ тaкaя, что $∥f (r)∥_{C[−1, 1]} ≤ 1$, и для произвольного алгебраического полинома $P ∈ Δ^3 [−1, 1]$ существует $x$ такое, что $$|f(x)−P(x)| ≥ C \sqrt{n}ρ^r_n(x),$$ где $C > 0$ — постоянная, зависящая только от $r, ρ_n(x) := \frac1{n^2} + \frac1n \sqrt{1−x^2}$.