Неізоспектральні потоки на напівнескінченних унiтарних блочних якобієвих матрицях

Анотація

      Доведено, що у випадку, коли спектр та спектральна мiра унітарного оператора, породженого напівнескінченною блочною якобієвою матрицею $J(і)$, змінюються заданим чином, відповідний оператор $\textbf{J}(t)$ задовольняє узагальнене рівняння Лакса $\dot{\textbf{J}}(t) = \Phi(\textbf{J}(t), t) + [\textbf{J}(t), A(\textbf{J}(t), t)]$, де $\Phi(\lambda, t)$ є поліномом по $\lambda$ та $\overline{\lambda}$ з коефіцієнтами, що залежать від $t$, і $A(J(t), t) = \Omega + I + \frac12 \Psi$ — деяка кососиметрична матриця.
      Оператор $J(t$) аналізується у просторі ${\mathbb C}\oplus{\mathbb C}^2\oplus{\mathbb C}^2\oplus...$. Він відображається в унітарний оператор множення $L(t)$ в ізоморфному просторі $L^2({\mathbb T}, d\rho)$, де ${\mathbb T} = {z: |z| = 1}$. Це дає можливість побудувати ефективний алгоритм розв'язування блочного ланцюжка диференціальних рівнянь, що породжується рівнянням Лакса. У статті наведено процедуру, що дозволяє розв'язувати відповідну задачу Коші методом оберненої спектральної задачі.
      Розглянуто приклади блочних диференціально-різницевих ланцюжків та відповідних їм потоків, що є аналогами ланцюжків Тоди та Ван Мербека (у самоспряженому випадку на ${\mathbb R}$), а також деякі зауваження стосовно застосування цієї техніки до потоку Шура (унітарний випадок на ${\mathbb T}$ та OPUC теорія).