Two different sequences of infinitely many homoclinic solutions for a class of fractional Hamiltonian systems

Анотація

УДК 517.9

Дві різні нескінченні послідовності  гомоклінічних розв’язків для класу дробових гамільтонових систем

Розглянуто питання про існування нескінченної кількості гомоклінічних розв’язків для таких дробових гамільтонових систем:\begin{align}\begin{aligned}& -_{t}D^{\alpha}_{\infty}\left(_{-\infty}D^{\alpha}_{t}x(t)\right)-L(t)x(t)+\nabla W(t,x(t))=0,\\& x\in H^{\alpha}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}^{N}\right),\end{aligned}\tag{FHS}\end{align}де $\alpha\in\left(\dfrac{1}{2},1\right],$ $t\in\mathbb{R},$ $x\in\mathbb{R}^N,$ а $_{-\infty}D^{\alpha}_{t}$ і $_{t}D^{\alpha}_{\infty}$ – відповідно ліві та праві дробові похідні Ліувілля–Вейля порядку $\alpha$ на всій осі $\mathbb{R}$. Новизна отриманих результатів полягає в тому, що у випадку, коли нелінійність $W\in C^{1}\big(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{N},\mathbb{R}\big)$ містить комбінацію суперквадратичних і субквадратичних членів, уперше показано за допомогою теореми Фонтена та дуальної теореми Фонтена, що (FHS) містить дві різні нескінченні послідовності  гомоклінічних розв’язків такі, що відповідний енергетичний функціонал (FHS) прямує до нескінченності та нуля, відповідно. Деякі останні результати, відомі з літератури, узагальнено та значно покращено.