Distributions of zeros and poles of $N$-point  Padé approximants  to complex-symmetric functions defined at complex points

R. Jedynak; J.   Gilewicz

doi:10.37863/umzh.v73i8.333

R. Jedynak K. Pulaski Univ. Technology and Humanities, Radom, Poland
J. Gilewicz K. Pulaski Univ. Technology and Humanities, Radom, Poland

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i8.333

Анотація

УДК 517.5

Pозподіл нулів і полюсів $n$-точкових наближень паде комплексно-симетричних функцій, визначених у комплексних точках

Знання про місцезнаходження нулів і полюсів наближень Паде та $N$-точкових наближень Паде для даної функції $f$ надає дуже важливу інформацію щодо цієї функції.
Взагалі, наближення Паде повторюють точні нулі та полюси функції, але, на жаль, можуть з'являтись інші нулі та полюси.
Зрозуміло, що контроль позиції нулів і полюсів є важливим для застосувань методу наближень Паде.
Числові приклади, що наведені у роботі, демонструють необхідність знати позицію нулів і полюсів для того, щоб гарантувати збіжність наближення Паде.
Наші дослідження позиції полюсів і нулів наближень Паде та $N$-точкових наближень Паде виконано для функцій Стільтьєса, оскільки нас цікавлять ефективні числові застосування таких наближень.
Ці функції належать до класу комплексно-симетричних функцій.
Також досліджено наближення Паде та $N$-точкові наближення Паде для функцій Стільтьєса у різних регіонах комплексної площини.
Очікується, що правильний вибір комплексної точки для визначення наближення може покращити її відносно стандартного вибору $\zeta = 0.$
Для всіх розглянутих випадків надано відповідні ілюстрації.
Деякі наведені у статті унікальні числові результати є достатньо типовими й повинні спонукати читача замислитися над ними.

Посилання

G. A. Baker Jr., Essentials of Pade approximants, Acad. Press, London (1975).

J. S. R. Chisholm, A. C. Genz, M. Pusterla, A method for computing Feynman amplitudes with branch cuts, J. Comput. and Appl. Math., 2, 73 – 76 (1976), https://doi.org/10.1016/0771-050X(76)90010-3 DOI: https://doi.org/10.1016/0771-050X(76)90010-3

J. Gilewicz, Approximants de Padé , Lect. Notes Math., 667, Springer-Verlag (1978). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0061327

J. Gilewicz, M. Pindor, On the relation between measures defining the Stieltjes and the inverted Stieltjes functions, Ukr. J. Math., 62, № 3, 327 – 331 (2010), https://doi.org/10.1007/s11253-010-0360-4 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-010-0360-4

F. Hebhoub, Approximants de Padé a N points avec le point ` a l’infini pour les fonctions de Stieltjes ` (in French), Ph.D. thesis, Univ. Badji Mokhtar, Annaba (2011).

F. Hebhoub, L. Yushchenko, On the zeros and poles of 1-point and N-point Padé approximants of complex-symetric ´functions in the case of the complex points, Int. J. Math. and Math. Sci., Article ID 135481 (2011). DOI: https://doi.org/10.1155/2011/324865

S. Klarsfeld, Pade approximants and related methods for computing boundary values on cuts, Lect. Notes Math., 888, Springer, Berlin (1981), p. 255 – 262. DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0095591

L. Yushchenko, Approximants de Padé a N points complexes pour les fonctions de Stieltjes ` (in French), Ph.D. thesis, Univ. de Toulon (2010).

J. Gilewicz, M. Pindor, S. Tokarzewski, J. J. Telega, $N$ -point Padé approximants and two sided estimates of errors ´on the real axis for the Stieltjes functions, J. Comput. and Appl. Math., 178, 247 – 253 (2005), https://doi.org/10.1016/j.cam.2003.12.051 DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2003.12.051

J. Gilewicz, 100 years of improvements of bounding properties of one-point, two-point and $N$ -point Pade approximants to the Stieltjes functions, Appl. Numer. Math., 60, 1320 – 1331 (2010), https://doi.org/10.1016/j.apnum.2010.05.007 DOI: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2010.05.007

R. Jedynak, J. Gilewicz, Approximation of smooth functions by weighted means of $N$ -point Padé approximants, Ukr. Math. J., 65, № 11, 1566 – 1576 (2014), https://doi.org/10.1007/s11253-014-0878-y DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-014-0878-y

R. Jedynak, Approximation of the inverse Langevin function revisited, Rheol. Acta, 54, 29 – 39 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s00397-014-0802-2

R. Jedynak, New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function, J. Non-Newton Fluid, 8 – 25 (2017), https://doi.org/10.1016/j.jnnfm.2017.09.003 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jnnfm.2017.09.003

R. Jedynak, J. Gilewicz, Magic efficiency of approximation of smooth functions by weighted means of two $N$ -point Padé approximants, Ukr. Mat. Zh., 70, № 9, 1192 – 1210 (2018) DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01575-1