Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням

Анотація

Нехай $\mathcal{M}_n,\quad n = 1, 2, ..., $ — надкритичне гіллястє випадкове блукання, в якому число безпосередніх нащадкiв одного індивідуума може бути нескінченним з додатною ймовірністю. Припустимо, що стандартний мартингал $W_n$, пов'язаний з $\mathcal{M}_n$, є регулярним, a $W$ — гранична випадкова величина. Нехай $a(x)$ — невід'ємна функція, що правильно змінюється на нескінченності з показником, більшим за -1. В роботі наведено достатні умрви м. н. збіжності ряду $\sum^{\infty}_{n=1}a(n)(W - W_n)$. Також встановлено критерії скінченності $EW \ln^+Wa(ln+W)$ та $EW \ln^+|Z_{\infty}|a(ln+|Z_{\infty}|)$, де $Z_{\infty} = Q_1 + \sum^{\infty}_{n=2}M_1 ... M_nQ_{n+1}$, а $(M_n, Q_n)$ — незалежні однаково розподілені випадкові вектори, не обов'язково пов'язані з $\mathcal{M}_n$.