Convergence of SP-iteration for generalized nonexpansive mapping in Banach spaces
Анотація
UDC 517.9
Збiжнiсть SP-iтерацiй для узагальнених нерозширюючих вiдображень у банахових просторах
У роботі Phuengrattana і Suantai [J. Comput. and Appl. Math., {\bf 235}, 3006\,--\,3014 (2011)] запропоновано ітераційну схему із назвою SP-ітерація. Нашу статтю присвячено вивченню збіжності цієї схеми SP-ітерацій для класу узагальнених нерозширюючих відображень. Доведено одну теорему про слабку збіжність та дві теореми про сильну збіжність у рівномірно опуклих банахових просторах. З метою ілюстрації основного результату наведено числовий приклад. Отримані результати узагальнюють та удосконалюють багато інших відомих результатів.
Посилання
V. Berinde, Iterative Approximation of Fixed Points, Lect. Notes Math., Springer, Berlin (2007). DOI: https://doi.org/10.1109/SYNASC.2007.49
W. R. Mann, Mean value methods in iterations, Proc. Amer. Math. Soc., 4, 506 – 510 (1953), https://doi.org/10.2307/2032162 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1953-0054846-3
S. Ishikawa, Fixed points by a new iteration method, Proc. Amer. Math. Soc., 44, 147 – 150 (1974), https://doi.org/10.2307/2039245 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1974-0336469-5
B. E. Rhoades, Comments on two fixed point iteration methods, J. Math. Anal. and Appl., 56, no. 3, 741 – 750 (1976), https://doi.org/10.1016/0022-247X(76)90038-X DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(76)90038-X
S. Ishikawa, Fixed point and iteration of a nonexpansive mapping in a Banach space, Proc. Amer. Math. Soc., 59, no. 1, 65 – 71 (1976), https://doi.org/10.2307/2042038 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1976-0412909-X
S. Reich, Weak convergence theorems for nonexpansive mappings in Banach spaces, J. Math. Anal. and Appl., 67, no. 2, 274 – 276 (1979), https://doi.org/10.1016/0022-247X(79)90024-6 DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(79)90024-6
K. K. Tan, H. K. Xu, Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J. Math. Anal. and Appl., 178, no. 2, 301 – 308 (1993), https://doi.org/10.1006/jmaa.1993.1309 DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.1993.1309
A. Razani, H. Salahifrd, Approximating fixed points of generalized nonexpansive mappings, Bull. Iranian Math. Soc., 37, № 1, 235 – 246 (2011).
I. Kubiaczyk, N. M. Ali, On the convergence of the Ishikawa iterates to a common fixed point for a pair of multi –valued mappings, Acta Math. Hungar., 75, no. 3, 253 – 257 (1997), https://doi.org/10.1023/A:1006555406715 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1006555406715
B. Xu, M. A. Noor, Fixed point iterations for asymptotically nonexpansive mappings in Banach spaces, J. Math. Anal. and Appl., 267, no. 2, 444 – 453 (2002), https://doi.org/10.1006/jmaa.2001.7649 DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.2001.7649
S. Thianwan, Common fixed points of new iterations for two asymptotically nonexpansive nonself mappings in a Banach space, J. Comput. and Appl. Math., 224, no. 2, 688 – 695 (2009), https://doi.org/10.1016/j.cam.2008.05.051 DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2008.05.051
W. Phuengrattana, S. Suantai, On the rate of convergence of Mann, Ishikawa, Noor and SP-iterations for continuous functions on an arbitrary interval, J. Comput. and Appl. Math., 235, no. 9, 3006 – 3014 (2011), https://doi.org/10.1016/j.cam.2010.12.022 DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2010.12.022
T. Suzuki, Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings, J. Math. Anal. and Appl., 340, no. 2, 1088 – 1095 (2008), https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.09.023 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.09.023
A. Sahin, M. Ba¸sarir, On the strong and $Delta$ -convergence of SP-iteration on $CAT(0)$ space, J. Inequal. and Appl., 2013, Article 311 (2013), 10 p., https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-311 DOI: https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-311
Z. Opial, Weak convergence of successive approximations for nonexpansive mappings, Bull. Amer. Math. Soc., 73, 591 – 597 (1967), https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1967-11761-0 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1967-11761-0
H. K. Xu, Inequalities in Banach spaces with applications, Nonlinear Anal., 16, no. 12, 1127 – 1138 (1991), https://doi.org/10.1016/0362-546X(91)90200-K DOI: https://doi.org/10.1016/0362-546X(91)90200-K
Z. H. Sun, H. Chang, Q. N. Yong, A strong convergence of an implicit iteration process for nonexpansive mappings in Banach spaces, Nonlinear Funct. Anal. and Appl., 8, no. 4, 595 – 602 (2003).
H. F. Senter, W. G. Dotson, Approximating fixed points of nonexpansive mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 44, 375 – 380 (1974), https://doi.org/10.2307/2040440 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1974-0346608-8
