Экстремальные задачи o неналегающих областях со свободными полюсами на окружности

Анотація

Нехай $α_1, α_2 > 0$ та $r(B, a)$ — внутрішній радіус обласгі $B$, що лежить у розширеній комплексній площині $\overline{ℂ}$, відносно точки $a ∈ B$. У термінах квадратичних диференціалів отримано повний опис екстремальних конфігурацій в задачі максимізації функціонала $\left( {\frac{{r(B_1 ,a_1 ) r(B_3 ,a_3 )}}{{\left| {a_1 - a_3 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _1 } \left( {\frac{{r(B_2 ,a_2 ) r(B_4 ,a_4 )}}{{\left| {a_2 - a_4 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _2 }$ визначеного на всіх наборах, що складаються з точок $a_1, a_2, a_3, a_4 ∈ \{z ∈ ℂ: |z| = 1\}$ та областей $B_1, B_2, B_3, B_4 ⊂ \overline{ℂ}$, які попарно не перетинаються між собою, таких, що $a_1 ∈ B_1, a_1 ∈ B_2, a_3 ∈ B_3, and a_4 ∈ B_4$.