Об одной экстремальной задаче для полунормы на пространстве $l_1$ с весом

Анотація

Нехай $α=\{α_j\}_{j∈N}$ — нeспадна послідовність додатних чисел, $l_{1,α}$ — простір дійсних послідовностей $ξ=\{ξ_j\}_{j∈N}$, для яких $∥ξ∥_{1,α} := ∑^{∞}_{j=1}α_j|ξ_j| < +∞$. Кожній послідовності $ξ$ з $l_{1,α}$ поставимо у відповідність послідовність $ξ^∗ = \{|ξ_{φ(j)}|\}_{j∈N}$, де $ϕ(·)$ — така перестановка натурального ряду, що $|ξ_{φ(j)}| ⩾ |ξ_{φ(j+1)}|,\; j ∈ ℕ$. Якщо р — обмежена півнорма на $l_{1,α}$ і послідовність $\omega _m :\; = \left\{ {\underbrace {1, \ldots ,1}_m,\;0,\;0,\; \ldots } \right\}$, то . $$\mathop {\sup }\limits_{\xi \ne 0,\;\xi \ne 1_{1,\alpha } } \frac{{p\left( {\xi *} \right)}}{{\left\| \xi \right\|_{1,\alpha } }} = \mathop {\sup }\limits_{m \in \mathbb{N}} \frac{{p\left( {\omega _m } \right)}}{{\sum {_{s = 1}^m } \alpha _s }}.$$ З цієї рівності виводиться низка відомих тверджень.