Асимптотична поведінка розв'язків нелінійного різницевого рівняння з неперервним аргументом

Анотація

Розглянуто різницеве рівняння з меперершшм аргумен том $$x(t + 2) - 2\lambda x(t + 1) + \lambda ^2 x(t) = f(t, x(t)),$$ де $λ > 0, t ∈ [0, ∞)$ та $f: [0, ∞) × R → R$. Навелено умови ісііування та єдності неперервних асимптотично періодичних розв'язків даного рівнянняя. Доведено також наступне твердження: Нехай $x(t)$ — дійсна непервнаа функція така, що $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } (x(t + 2) - (1 - \alpha )x(t + 1) - \alpha x(t)) = 0$$ для деякого $α ∈ R$. У цьому випадку з обмеженості $x(t)$ завжди випливає, що $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } (x(t + 1) - x(t)) = 0$$ тоді і тільки годі, коли $α ∈ R \{1\}$.