Приближение плотностей абсолютно непрерывных компонент мер и гильбертовом пространстве с помощью полугруппы Орнштейна — Уленбека

Анотація

Вивчається поведінка мір, які є результатом дії пігрупи Орнштейна - Улеибека $T_t$, що пов'язана з гауссовою мірою $μ$, на довільну ймовірнісну міру $ν$ у сепарабельному гільбертовому просторі, при $t → 0+$. Доведено, що щільності абсолютно неперервних частин $T_tν$ по відношенню до $μ$ збігаються за мірою |і до щільності абсолютно неперервної частини V по підношенню до $μ$. У випадку скінченної вимірності простору доведено збіжність цих щільпостей $μ$-майже скрізь. У нескіпченновимірному випадку наведено деякі достатні умови для збіжності майже скрізь. Також розглянуто умови па абсолютну неперервність $T_tν$ по відношенню до $μ$. у термінах коефіцієнтів розкладу $T_tν$ в ряд за поліномами Ерміта (аналог розкладу Іто - Вінера) та зв'язок з фінітною абсолютною неперервністю.