Співвідношення типу Бореля для узагальнень ряду експонент

Анотація

Встановлюється, що умова $\sum\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {n{\lambda }_n } \right)^{ - 1} < + \infty }$ необхідною та достатньою для того, щоб співвідношення $\ln F(σ) ∼ \ln μ(σ, F),$ мало місце при $σ → +∞,$ зовні деякої множини для кожної функції з класу $H_ + \left( {\lambda } \right)\mathop = \limits^{{df}} \cup _f H\left( {{\lambda,}f} \right)$, де $H(λ, f)$ — клас збіжних при всіх $σ ≥ 0$ рядів вигляду $$F\left( {\sigma} \right) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {a_n f\left( {{\sigma \lambda}_n } \right),\quad a_n \geqslant 0,\;n \geqslant 0,}$$ $f(σ)$ — додатна, диференційовна, зростаюча на $[0, +∞)$ функція така, що $f(0) = 1,\;\ln f(σ)$ — опукла на $[0, +∞)$.