Исследование одного класса диофантовых уравнений

Анотація

Розглядається питання про існування розв'язків рівняння $\frac{X}{Y} + \frac{Y}{Z} + \frac{Z}{X} = m$ в натуральних числах при різних $m ∈ N$. Доведено, що при $m = a_2 + 5,\; a ∈ Z$, рівняння має розв'язки в натуральних числах, а при $ m = 4p^2,\; p ∈ N$, $р$ не ділиться на 3, не має розв'язків. Також доведено, що при $n ≥ 12$ рівняння $$\frac{{b_1 }}{{b_2 }} + \frac{{b_2 }}{{b_3 }} + \cdots + \frac{{b_{n - 1} }}{{b_n }} + \frac{{b_n }}{{b_1 }} = m$$ має розв'язки в натуральних числах тоді і тільки тоді, коли $m ≥ n, m ∈ N.$