Єдиний підхід для унівалентніх функцій з від'ємними коефіцієнтами з використанням продукту Адамара

Анотація

Нехай в $U = {z:\; |z| < 1}$ задані аналітичні функції $ϕ(z) = z + \sum_{n=2}^{∞} λ_n z^n ,\; Ψ(z) = z + \sum_{n=2}^{∞} μ_n z^n , де $λ_n ≥ 0,\; μ_n ≥ 0$ і $λ_n ≥ μ_n$ і $E(φ,ψ; α, β)$, $0≤α<1,\; 0<β≤1$, — клас аналітичних функцій $ƒ(z) = z + sum_{n=2}^{∞} a_n z_n$ в $U$ таких, що $f(z)*ψ(z) ≠ 0$ $$|(f(z)∗φ(z))/((f(z)∗ψ(z))−1| < β |(f(z)∗φ(z)) / ((f(z)∗ψ(z)) + (1−2α)|$$ при $z \in U$, де через * позначено добуток Адамара. Нехай $T$—клас функцій $ƒ(z) = z - \sum_{n=2}^{∞} |a_n|$ аналітичних і унівалентних в $U$, і нехай $E_T (φ,ψ;α,β) = E(φ,ψ;α,β) ∩ T$. Коефіцієнтні оцінки, екстремальні точки, властивості дисторсії тощо встановлені для класу $E_T (φ,ψ;α,β)$ при фіксованому другому коефіцієнті. При спеціальному виборі $φ(z)$ і $ψ(z)$, одержані результати не тільки узагальнюють загальновідомі, а й дають можливість для встановлення нових результатів.