Модули непрерывности, определенные по нулевому продолжению функции, и $K$-функционалы с ограничениями

Анотація

Розглядається $K$-функціонал вигляду $$K(\delta ,f)_p : = \mathop {\sup }\limits_{g \in W_{p U}^r } \left\{ {\left\| {f - g} \right\|_{L_p } + \delta \sum\limits_{j = 0}^r {\left\| {g^{(j)} } \right\|_{L_p } } } \right\}, \delta \geqslant 0,$$ де $ƒ ∈ L_p := L_p [0, 1]$, a $W_p, U^r $ — підпростір простору Соболева $W_p^r [0, 1],\; 1 ≤ p ≤ ∞$, що складається з функцій $g$, для яких $\int_0^1 {g^{(l_j )} (\tau ) d\sigma _j (\tau ) = 0, j = 1, ... , n}$. Припускається, що $0 ≤ l_l ≤ ... ≤ l_n ≤ r-1$ та для кожної функції $τ_j$ існує хоча б один стрибок $σ_j$, якщо $τ_j = τ_s$, при $j ≠ s$, то $l_j ≠ l_s $. Для $l$ -го модуля неперервності функції $f$, заданого рівністю $$\hat \omega _0^{[l]} (\delta ,f)_p : = \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant h \leqslant \delta } \left\| {\sum\limits_{j = 0}^l {( - 1)^j \left( \begin{gathered} l \hfill \\ j \hfill \\ \end{gathered} \right)\hat f( - hj)} } \right\|_{L_p } , \delta \geqslant 0.$$ Де $\hat f(t) = f(t),\; 0 < t < 1$, і $\hat f(t) = 0, t < 0$, знайдено оцінки $ K(\delta ^r ,f)_p \leqslant c\hat \omega _0^{[l_1 ]} (\delta ,f)_p$, $K(\delta ^r ,f)_p \leqslant c\hat \omega _0^{[l_1 + 1]} (\delta ^\beta ,f)_p$ в яких $β=(pl_l + 1)/p(l_1 + 1)$, а стала $с > 0$ не залежить від $ δ>0$ і $ƒ ∈L_p$. Одержано також інші оцінки цього $K$-функціонала.