Коположительное поточечное приближение

Анотація

Доведено, що коли функція $f ∈ C^{(1)}\; (I), I: = [−1, 1]$, змінює знак $s$ разів на $f\; (s ∈ ℕ)$, тоді для кожного $n > C$, де стала $С$ залежить тільки від множини точок зміни знаку функції і $k ∈ ℕ$, існує алгебраїчний многочлен $P_n =P_n (x) $ степеня $ ≤n $, який локально успадковує знак $(x)$ і $$\left| {f\left( x \right) - P_n \left( x \right)} \right| \leqslant c\left( {s,k} \right)\left( {\frac{1}{{n^2 }} + \frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right)\omega _k \left( {f'; \frac{1}{{n^2 }} + \frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right), x \in I$$ де $ω k (f′;t)$ — $k$-й модуль неперервності функції $f$. Також показано, що коли $f ∈ C (I)$ і $f(x) ≥ 0,x ∈I$, тоді для кожного $n ≥ k − 1$ існує многочлен $P_n =P_n(x)$ степеня $≤n$ такий, що $P_n (x) ≥ 0,x ∈ I$, і $|f(x) −P n (x)| ≤c(k)ω k (f;n −2 +n −1 √1 −x 2),x ∈ I.$