Про радіуси однолистості похідних Гельфонда-Леонтьева

Анотація

Нехай $0 < R < +\infty, A(R)$ — клас аналітичних в $\{ z: |z| < R \}$ функцій $$f(z) = \sum_{k=0}^{\infty}f_kz^k,\;\; l(z) = \sum_{k=0}^{\infty}l_kz^k,\; l_k > 0$$ — формальный степеневий ряд. Доведено, що коли $l^2_k/l_{k+1}l_{k-1}$ — незростаюча послідовність, $f \in A(R)$ і $|f_k/f_{k+1} \nearrow R,\; k \rightarrow \infty,\; 0 < R < +\infty$, то послідовність $(\rho_n)$ радіусів однолистості похідних Гельфонда-Леонтьева $$D^n_lf(z) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{l_kf_{k+n}}{l_{k+n}}z_k$$ задовольняє співвідношення $$\rho_n \asymp \frac{l_{n+2}}{l_{n+1}}\left|\frac{f_{n+1}}{f_{n+2}}\right|$$ Вивчається також випадок, коли умова $|f_k/f_{k+1}|\nearrow R,\quad k \rightarrow \infty$ не виконується.