Об одном свойстве целых рядов Дирихле с убывающими коэффициентами

Анотація

У класі $S_{Ψ}^{ *} (A)$ цілих рядів Діріхле $F(s) = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {a_n exp(s\lambda _n )}$, який при фіксованій послідовності $A = (a_n ),\; 0 < a_n \downarrow 0,\sum\nolimits_{n = 0}^\infty {a_n< + \infty } ,$ визначається умовами $0 ≤ λ_n ↗ +∞$ і $λ_n ≤ (1n^+(1/a_n ))$ на показники $λ_n$, де $ψ $ - додатна неперервна на $(0, +∞)$ функція, $ψ(x) ↑ +∞$ і $x/ψ(x) ↑ +∞$ при $x →+ ∞$ вказані необхідна і достатня умови виконання спів­відношення $ϕ(\ln M(σ, F)) ∼ ϕ(\ln μ(σ, F))$ при $σ → +∞$, де $M(\sigma ,F) = sup\{ |F(\sigma + it)|:t \in \mathbb{R}\} ,\mu (\sigma ,F) = max\{ a_n exp(\sigma \lambda _n ):n \in \mathbb{Z}_ + \}$, a $ϕ$ — додатна неперервна зростаюча до $+∞$ на $(0, +∞)$ функція така, що $\ln ϕ(x)$ вгнута, а $ϕ(\ln x)$ — повільно зростаюча функція.