Структура банахових алгебр обмежених неперервних функцій у відкритому крузі, що містять $H^{∞}$, алгебра Гофмана та недотичні границі

Анотація

Нехай $\mathcal{H}_B \bigcap G$ -алгебра обмежених неперервних функцій у відкритому крузі $\mathbb{D}$, зображена у ви­гляді $\mathcal{H}_B \bigcap G$, де $G = C(M(H^{\infty})) \overset{\rm def}{=} \text{alg}(H^{\infty}, \overline{H^{\infty}})$ і $\mathcal{H}_B$ - замкнена підалгебра у $C(D)$, що склада­ється з функцій, які мають недотичні границі, зокрема, на $\mathbb{T}$, що належать алгебрі Дугласа $B$. У статті наведено опис простору максимальних ідеалів алгебри $M(\mathcal{H}^G_B)$. Доводиться, що $M(\mathcal{H}^G_B) = M(B) \bigcup M(\mathcal{H}^G_0)$, $\mathcal{H}^G_0$- замкнений ідеал в $G$, який складається з функцій, що мають недотичні границі, зокрема, на $\mathbb{T}$, і ці границі рівні нулю. Крім того, доведено, що в крузі $H^{\infty \supset } [\overline Z ] \ne \mathcal{H}_{H^\infty + C}^G$ . Узагальнюється теорема Чанга-Маршалла про банахові алгебри $\mathcal{H}^G_B$ і дово­диться, що $\mathcal{H}^G_B = {\rm alg}(\mathcal{H}^G_{H^{\infty}}, \overline{IB})$ для будь-якої алгебри Дугласа $B$, де $IB = \{u_{\alpha}\}_B$ are inner functions such that $\overline{u_{\alpha}} \in B$- внутрішні функції, такі, що $\overline{u_{\alpha}} \in B$ на $\mathbb{T}$.