On the theory of integral manifolds for some delayed partial differential equations with nondense domain

C.  Jendoubi

doi:10.37863/umzh.v72i6.6020

C. Jendoubi Univ. Sfax, Tunisia

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i6.6020

Анотація

УДК 517.9

Інтегральні многовиди мають велике значення при вивченні динаміки нелінійних еволюційних рівнянь. Ми розглядаємо нещільно визначене диференціальне рівняння з частинними похідними

$$\frac{du}{dt}=(A+B(t))u(t)+f(t,u_t),\quad t\in\mathbb{R},\tag{1}$$

де $(A,D(A))$ задовольняє умову Хілла–Йосіди, $(B(t))_{t\in\mathbb{R}}$ є сім'єю операторів у $\mathcal{L}(\overline{D(A)},X),$ яка задовольняє деякі умови вимірюваності та обмеженості, а нелінійний доданок $f$ задовольняє умову $\|f(t,\phi)-f(t,\psi)\|\leq \varphi(t)\|\phi-\psi\|_{\mathcal{C}}$, де $\varphi$ належить до деяких допустимих просторів і $\phi,$ $\psi\in\mathcal{C}:=C([-r,0],X)$. Ми насамперед пропонуємо деякий результат, що стосується експоненціальної збіжності між стійким многовидом та будь-яким слабким розв'язком рівняння (1). Далі ми доводимо існування центральних нестійких многовидів для таких розв'язків.

Наші методи доведення посилаються в основному на теорію екстраполяції та метод Ляпунова–Перрона, що базується на властивостях допустимих функцій.

Посилання

N. N. Bogoliubov, Yu. A. Mitropolsky, The method of integral manifolds in nonlinear mechanics, Contrib. Different. Equat., 2, 123 – 196 (1963).

L. Boutet de Monvel, I. D. Chueshov, A. V. Rezounenko, Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations, Nonlinear Anal., 34, 907 – 925 (1998) https://doi.org/10.1016/S0362-546X(97)00569-5 DOI: https://doi.org/10.1016/S0362-546X(97)00569-5

S. N. Chow, K. Lu, Invariant manifolds for ows in Banach spaces, J. Different. Equat., 74, 285 – 317 (1988) https://doi.org/10.1016/0022-0396(88)90007-1 DOI: https://doi.org/10.1016/0022-0396(88)90007-1

P. Constantin, C. Foias, B. Nicolaenko, R. Temam,Integral manifolds and inertial manifolds for dissipative partial differential equations, Springer-Verlag, New York (1989) https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3506-4 DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3506-4

G. Da Prato, E. Sinestrari, Differential operators with non-dense domains, Ann. Scuola Norm. Super. Pisa Cl. Sci., 14, 285 – 344 (1987) http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1987_4_14_2_285_0

T. V. Duoc, N. T. Huy, Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces, Taiwanese J. Math., 16, 963 – 985 (2012) https://doi.org/10.11650/twjm/1500406669 DOI: https://doi.org/10.11650/twjm/1500406669

T. V. Duoc, N. T. Huy, Integral manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on a half line, J. Math. Anal. and Appl., 411, 816 – 828 (2014) https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.2993 DOI: https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.2993

T. V. Duoc, N. T. Huy, Unstable manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on the whole line, Vietnam J. Math., 32, 37 – 55 (2015) https://doi.org/10.1007/s10013-016-0234-7 DOI: https://doi.org/10.1007/s10013-016-0234-7

G. Guhring, F. Rabiger, Asymptotic properties of mild solutions for nonautonomous evolution equations with appli- cations to retarded differential equations, J. Abstr. and Appl. Anal., 4, No 3, 169 – 194 (1999) https://doi.org/10.1155/S1085337599000214 DOI: https://doi.org/10.1155/S1085337599000214

M. W. Hirsch, C. C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Springer-Verlag, Berlin; Heidelberg (1977). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0092042

N. T. Huy, Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line, J. Funct. Anal., 235, 330 – 354 (2006) https://doi.org/10.1016/j.jfa.2005.11.002

N. T. Huy, Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line, J. Math. Anal. and Appl., 354, 372 – 386 (2009) https://doi.org/10.1016/j.jfa.2005.11.002 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2005.11.002

N. T. Huy, Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations, J. Differen. Equat., 246, 1822 – 1844 (2009) https://doi.org/10.1016/j.jde.2008.10.010 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2008.10.010

C. Jendoubi, Unstable manifolds of a class of delayed partial differential equations with nondense domain, Ann. Polon. Math., 181 – 208 (2016) https://doi.org/10.4064/ap3913-11-2016 DOI: https://doi.org/10.4064/ap3913-11-2016

C. Jendoubi, Integral manifolds of a class of delayed partial differential equations with nondense domain, Numer. Funct. Anal. and Optim., 38, 1024 – 1044 (2017) https://doi.org/10.1080/01630563.2017.1309665 DOI: https://doi.org/10.1080/01630563.2017.1309665

Z. Liu, P. Magal, S. Ruan, Center-unstable manifolds for non-densely de ned Cauchy problems and applications to stability of Hopf bifurcation, Canad. Appl. Math. Quart., 20, 135 – 178 (2012) https://www.math.u-bordeaux.fr/~pmagal100p/papers/LMR-CAMQ-13.pdf

L. Maniar, Stability of asymptotic properties of Hille – Yosida operators under perturbations and retarded differential equations, Quaest. Math., 28, 39 – 53 (2005)https://doi.org/10.2989/16073600509486114 DOI: https://doi.org/10.2989/16073600509486114

N. V. Minh, J. Wu, Invariant manifolds of partial functional differential equations, J. Different. Equat., 198, 381 – 421 (2004) https://doi.org/10.1016/j.jde.2003.10.006 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2003.10.006

J. D. Murray, Mathematical biology I: an introduction, Springer-Verlag, Berlin (2002) ISBN 978-3-662-08542-4

J. D. Murray, Mathematical biology II: spatial models and biomedical applications, Springer-Verlag, Berlin (2003) xxvi+811 pp. ISBN: 0-387-95228-4

A. Rhandi, Extrapolation methods to solve non-autonomous retarded partial differential equations, Stud. Math., 126, No 3, 219 – 233 (1998) https://doi.org/10.4064/sm-126-3-219-233 DOI: https://doi.org/10.4064/sm-126-3-219-233

H. R. Thieme, Semi ows generated by Lipschitz perturbations of nondensely de ned operators, Different. Integral Equat., 3, 1035 – 1066 (1990).

H. R. Thieme, ”Integrated semigroups” and integrated solutions to abstract Cauchy problems, J. Math. Anal. and Appl., 152, 416 – 447 (1990)https://doi.org/10.1016/0022-247X(90)90074-P DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(90)90074-P