A simple note on the Yoneda (co)algebra of a monomial algebra

Анотація

УДК 512.7

Просте повiдомлення про (ко)алгебру Йонеди алгебри одночленiв

Якщо $A = TV/\langle R\rangle$ — $K$\!-алгебра одночленів, то відомо, що $\operatorname{Tor}_{p}^{A}(K,K)$ є ізоморфним простору $V^{(p-1)}$ $(p-1)$-ланцюгів (Аніка) для $p \geq 1$.
Метою цього повідомлення є намагання показати, що наступний результат без будь-яких обчислень безпосередньо випливає з встановлених теорем для $A_{\infty}$-алгебр: існує $A_{\infty}$-коалгебраїчна модель на $\operatorname{Tor}_{\bullet}^{A}(K,K)$ така, що для $n \geq 3$ і $c \in V^{(p)}$ \ $\Delta_{n}(c)$ є лінійною комбінацією $c_{1} \otimes \ldots \otimes c_{n}$, де $c_{i} \in V^{(p_{i})}$, $p_{1} + \ldots +p_{n} = p - 1$ і $c_{1} \ldots c_{n} = c$.
Доведення, в основному, є наслідком того, що процедура Меркулова сумісна з додатковим градуюванням деякої відповідної категорії.
За допомогою простих аргументів, що базуються на результатах Келлера, безпосередньо приходимо до висновку, що деякі з цих коефіцієнтів дорівнюють $\pm 1$.