Про модифіковане рівняння Кортевега – де Фріза з навантаженим членом

А. Б.  Хасанов; Т. Ж.  Алланазарова

doi:10.37863/umzh.v73i11.6073

А. Б. Хасанов Самарканд. держ. ун-т, Узбекистан https://orcid.org/0000-0001-6071-3510
Т. Ж. Алланазарова Каракалпак. держ. ун-т iм. Бердаха, Нукус, Узбекистан

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i11.6073

Ключові слова: inverse spectral problem

Анотація

УДК 517.957
У цій роботі метод оберненої спектральної задачі застосовано до розв'язання задачі Коші для модифікованого рівняння Кортевега–де Фріза (мКдФ) у класі періодичних нескінченнозонних функцій.
Запропоновано простий вивід системи диференціальних рівнянь Дубровіна.
Доведено розв'язність задачі Коші для нескінченної системи диференціальних рівнянь Дубровіна у класі п'ятикратно неперервно диференційовних періодичних нескінченнозонних функцій.
Показано, що сума рівномірно збіжного функціонального ряду, побудованого з розв'язків нескінченної системи рівнянь Дубровіна, і формули для першого сліду задовольняють рівняння мКдФ. І навіть більше,
було доведено, що:

1) якщо початкова функція є дійсною $\pi$-періодичною аналітичною функцією, то розв'язок задачі Коші для рівняння мКдФ з навантаженим членом також є дійсною аналітичною функцією за змінною $x;$

2) якщо число $ \dfrac {\pi}{2} $ є періодом (антиперіодом) вихідної функції, то $ \dfrac {\pi}{2}$ також є періодом (антиперіодом) за змінною $x$ розв'язку задачі Коші для рівняння мКдФ з навантаженим членом.

Посилання

C. Gardner, I. Green, M. Kruskal, R. Miura, A method for solving the Korteweg – de Vries equation, Phys. Rev. Lett., 19, 1095 – 1098 (1967), https://doi.org/10.1137/1019101 DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.19.1095

L. D. Faddeev, Svojstva $S$-matry`czy odnomernogo uravneny`ya Shredy`ngera, Tr. Mat. y`n-ta AN SSSR, 73, 314 – 336 (1964).

V. A. Marchenko, Operatory Shturma – Lyuvyllia y ykh prylozhenyia, Nauk. dumka, Kyev (1977).

B. M. Levytan, Obratnye zadachy Shturma – Lyuvyllia, Nauka, Moskva (1984).

P. D. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Commun. Pure and Appl. Math., 21, 467 – 490 (1968), https://doi.org/10.1002/cpa.3160210503 DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160210503

V. E. Zakharov, A. B. Shabat, Tochnaia teoryia dvumernoi samofokusyrovky v odnomernoi avtomoduliatsyy voln v nelyneinykh sredakh, Zhurn. eksperym. y teor. fyzyky, 61, № 1, 118 – 134 (1971).

M. Wadati, The exact solution of the modified Korteweg – de Vries equation, J. Phys. Soc. Jаpаn, 32, № 6, 44 – 47 (1972), https://doi.org/10.1143/JPSJ.34.1289 DOI: https://doi.org/10.1143/JPSJ.32.1681

V. E. Zakharov, L. A. Takhtadzhian, L. D. Faddeev, Polnoe opysanye reshenyi „sin-Gordon” uravnenyia, Dokl. AN SSSR, 219, № 6, 1334 – 1337 (1974).

M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell, H. Segur, Method for solving the sine-Gordon equation, Phys. Rev. Lett., 30, № 25, 1262 – 1264 (1973). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.30.1262

Y. S. Frolov, Obratnaia zadacha dlia systemы Dyraka na vsei osy, Dokl. AN SSSR, 207, № 1, 44 – 47 (1972).

L. P. Nyzhnyk, Fam Loi Vu, Obratnaia zadacha rasseianyia na poluosy s nesamosopriazhennoi potentsyalnoi matrytsei, Ukr. mat. zhurn., 26, № 4, 469 – 485 (1974).

L. A. Takhtadzhian, L. D. Faddeev, Hamyltonov podkhod v teoryy solytonov, Nauka, Moskva (1986).

V. K. Mel’nikov, Integration of the nonlinear Schr¨odinger equation with a source, Inverse Problems, 8, no. 1, 133 – 147 (1992), http://stacks.iop.org/0266-5611/8/133 DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/8/1/009

V. K. Mel’nikov, Integration of the nonlinear Schr¨odinger equation with a self-consistent source, Commun. Math. Phys., 137, 359 – 381 (1991). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02431884

Y. Shao, Y. Zeng, The solutions of the NLS equations with self-consistent sources, J. Phys. A: Math. and Gen., 38, 2441 – 2467 (2005), https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/11/008 DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/11/008

Y. Zeng, W. Ma, R. Lin, Integration of the soliton hierarchy with self-consistent sources, J. Math. Phys., 41, № 8, 5453 – 5489 (2000), https://doi.org/10.1063/1.533420 DOI: https://doi.org/10.1063/1.533420

A. B. Khasanov, H. U. Urazboev, Ob uravnenyy sine-Hordon s samosohlasovannym ystochnykom, sootvetstvuiushchym kratnym sobstvennym znachenyiam, Dyfferents. uravnenyia, 43, № 4, 544 – 552 (2007). DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266107040143

A. B. Khasanov, H. U. Urazboev, Ob yntehryrovanyy uravnenyia sine-Hordon s samosohlasovannym ystochnykom yntehralnoho typa v sluchae kratnykh sobstvennykh znachenyi, Yzv. vuzov. Matematyka, № 3, 55 – 66 (2009).

A. B. Khasanov, H. U. Urazboev, Ob yntehryrovanyy uravnenyia sine-Hordon s samosohlasovannym ystochnykom, Mat. trudy, 11, № 1, 153 – 166 (2008).

A. B. Khasanov, U. A. Khoytmetov, Ob yntehryrovanyy uravnenyia Korteveha – de Fryza v klasse bystroubyvaiushchykh kompleksnoznachnykh funktsyi, Yzv. vuzov. Matematyka,№ 3, 79 – 90 (2018).

A. B. Khasanov, U. A. Khoytmetov, Yntehryrovanye obshcheho nahruzhennoho uravnenyia Korteveha – de Fryza s yntehralnym ystochnykom v klasse bystroubyvaiushchykh kompleksnoznachnykh funktsyi, Yzv. vuzov. Matematyka, № 7, 52 – 66 (2021).

A. R. Yts, V. B. Matveev, Operatory Shredynhera s konechnozonnym spektrom y $N$-solytonnye reshenyia uravnenyia Korteveha – de Fryza, Teor. y mat. fyzyka, 23, № 1, 51 – 68 (1975).

B. A. Dubrovyn, S. P. Novykov, Peryodycheskyi y uslovno peryodycheskyi analohy mnohosolytonnykh reshenyi uravnenyia Korteveha – de Fryza, Zhurn. eksperym. y teor. fyzyky, 67, № 12, 2131 – 2143 (1974).

P. D. Lax, Periodic solutions of the KdV equations, Commun. Pure and Appl. Math., 28, 141 – 188 (1975), https://doi.org/10.1002/cpa.3160280105 DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160280105

A. R. Yts, V. P. Kotliarov, Yavnye formuly dlia reshenyi nelyneinoho uravnenyia Shredynhera, Dokl. AN USSR. Ser. A, № 11, 965 – 968 (1976).

A. O. Smyrnov, Ellyptycheskye reshenyia nelyneinoho uravnenyia Shredynhera y modyfytsyrovannoho uravnenyia Korteveha – de Fryza, Mat. sb., 185, № 8, 103 – 114 (1994).

Yu. A. Mytropolskyi, N. N. Boholiubov (ml.), A. K. Prykarpatskyi, V. H. Samoilenko, Yntehryruemye dynamycheskye systemy: spektralnye y dyfferentsyalno-heometrycheskye aspekty, Nauk. dumka, Kyev (1987).

V. E. Zakharov, S. V. Manakov, S. P. Novykov, L. P. Pytaevskyi, Teoryia solytonov: metod obratnoi zadachy, Nauka, Moskva (1980).

L. A. Takhtadzhian, L. D. Faddeev, Hamyltonov podkhod v teoryy solytonov, Nauka, Moskva (1986).

E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover, New York (1956).

P. B. Dzhakov, B. S. Mytiahyn, Zonyneustoichyvosty odnomernykh peryodycheskykh operatorov Shredynhera y Dyraka, Uspekhy mat. nauk, 61, № 4, 77 – 182 (2006). DOI: https://doi.org/10.4213/rm2121

B. A. Dubrovyn, Peryodycheskaia zadacha dlia uravnenyia Korteveha – de Fryza v klasse konechnozonnykh potentsyalov, Funktsyon. analyz y eho pryl., 9, vyp. 3, 41 – 51 (1975).

P. G. Grinevich, I. A. Taimanov, Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type, Geometry, Topology and Mathematical Physics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, AMS, Providence, RI, 125 – 138 (2008), https://doi.org/10.1090/trans2/224/05 DOI: https://doi.org/10.1090/trans2/224/05

A. B. Khasanov, A. B. Yakhshymuratov, Ob uravnenyy Korteveha – de Fryza s samosohlasovannym ystochnykom v klasse peryodycheskykh funktsyi, Teor. y mat. fyzyka,164, № 2, 214 – 221 (2010). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf6535

A. B. Khasanov, M. M. Matiakubov, Yntehryrovanye nelyneinoho uravnenyia Korteveha – de Fryza s dopolnytelnym chlenom, Teor. y mat. fyzyka, 203, № 2, 192 – 204 (2020). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9693

H. McKean, E. Trubowitz, Hill’s operator and hyperelliptic function theory in the presense of infinitely many branch-points, Commun. Pure and Appl. Math., 29, 143 – 226 (1976), https://doi.org/10.1002/cpa.3160290203 DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160290203

H. McKean, E. Trubowitz, Hill’s surfaces and their theta functions, Amer. Math. Soc., 84, № 9, 1052 – 1085 (1978), https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14542-X DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14542-X

M. U. Schmidt, Integrable systems and Riemann surfaces of infinite genus, Mem. Amer. Math. Soc., 122, № 581, (1996), https://doi.org/10.1090/memo/0581 DOI: https://doi.org/10.1090/memo/0581

P. Lax, Almost periodic solutions of the KdV equation, SIAM Rev., 18, № 3, 351 – 375 (1976), https://doi.org/10.1137/1018074 DOI: https://doi.org/10.1137/1018074

A. V. Domryn, Meromorfnoe prodolzhenye reshenyi solytonnykh uravnenyi, Yzv. RAN. Ser. mat., 74, vyp.3, 23 – 44 (2010). DOI: https://doi.org/10.4213/im2784

A. B. Khasanov, M. M. Khasanov, Yntehryrovanye nelyneinoho uravnenyia Shredynhera s dopolnytelnыm chlenom v klasse peryodycheskykh funktsyi, Teor. y mat. fyzyka, 199, № 1, 60 – 68 (2019). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9581

B. M. Levitan, I. S. Sargsyan, , Sturm-Liouville and Dirac operators (Russian), Nauka, Moscow, (1988).

A. B. Khasanov, A. M. Ybrahymov, Ob obratnoi zadache dlia operatora Dyraka s peryodycheskym potentsyalom, Uzb. mat. zhurn., № 3-4, 48 – 55 (2001).

A. B. Khasanov, A. B. Yakhshymuratov, Analoh obratnoi teoremy H. Borha dlia operatora Dyraka, Uzb. mat. zhurn., № 3-4, 40 – 46 (2000).

T. V. Mysiura, Kharakterystyka spektrov peryodycheskoi y antyperyodycheskoi kraevykh zadach, porozhdaemykh operatsyei Dyraka, I, II, Teoryia funktsyi, funktsyon. analyz y ykh pryl., vyp. 30, 90 – 101 (1978); vyp.31, 102 – 109 (1979).

L. V. Stankevych, Ob odnoi zadache spektralnoho analyza dlia uravnenyia Khylla, Dokl. AN SSSR, 192, № 1, 34 – 37 (1970).

E. Trubowitz, The inverse problem for periodic potentials, Commun. Pure and Appl. Math., 30, 321 – 337 (1977), https://doi.org/10.1002/cpa.3160300305 DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160300305

G. Borg, Eine Umkehrung der Sturm – Liouvilleschen Eigenwertaufgabe, Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte, Acta Math., 78, 1 – 96 (1946), https://doi.org/10.1007/BF02421600 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02421600

S. Currie, T. Roth, B. Watson, Borg’s periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials, Proc. Edinburgh Math. Soc., 60, № 3, 615 – 633 (2017), https://doi.org/10.1017/S0013091516000389 DOI: https://doi.org/10.1017/S0013091516000389

N. Y. Akhyezer, Kontynualnyi analoh ortohonalnykh mnohochlenov na systeme yntervalov, Dokl. AN SSSR, 141, № 2, 262 – 266 (1961).

H. Flashka, On the inverse problem for Hill’s operator, Arch. Ration. Mech. and Anal., 59, № 4, 293 – 309 (1975), https://doi.org/10.1007/BF00250422 DOI: https://doi.org/10.1007/BF00250422

H. Hochstadt, A generalization of Borg’s inverse theorem for Hill’s equation, J. Math. Anal. and Appl., 102, no. 2, 599 – 605 (1984), https://doi.org/10.1016/0022-247X(84)90195-1 DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(84)90195-1