Reducibility of self-adjoint linear relations and application to generalized Nevanlinna functions

M.   Borogovac

doi:10.37863/umzh.v74i7.6084

M. Borogovac Boston Mutual Life Insurance Company, Canton, MA, USA https://orcid.org/0000-0001-6857-8309

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i7.6084

Анотація

УДК 517.9

Звiднiсть самоспряжених лiнiйних спiввiдношень i застосування до узагальнених функцiй Неванлiнни

Наведено необхiднi та достатнi умови звiдностi самоспряженого лiнiйного спiввiдношення у просторi Крейна. Далi узагальнена функцiя Неванлiнни $Q$, що представлена самоспряженим лiнiйним спiввiдношенням $A$ у просторi Понтрягiна, розкладається за допомогою звiдних пiдпросторiв $A$. Також вивчається сума двох функцiй $Q_{i}{\in N}_{\kappa_{i}}(\mathcal{H}),$ $i=1, 2,$ мiнiмально представлена трiйками $(\mathcal{K}_{i},A_{i},\Gamma_{i})$. З цiєю метою створено модель $(\tilde{\mathcal{K}},\tilde{A},\tilde{\Gamma })$, що представляє $Q:=Q_{1}+Q_{2}$ в термiнах $(\mathcal{K}_{i},A_{i},\Gamma_{i})$. За допомогою цiєї моделi необхiднi та достатнi умови для $\kappa =\kappa_{1}+\kappa_{2}$ доведено в аналiтичнiй формi. Насамкiнець ми пояснюємо, яким чином виродженi жордановi ланцюги представницьких спiввiдношень $A$ впливають на звiднi пiдпростори $A$ та на розклад вiдповiдної функцiї $Q.$

Посилання

R. Arens, Operational calculus of linear relations, Pacif. J. Math., 11, 9 – 23 (1961). DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1961.11.9

N. I. Akhiezer, I. M. Glazman, Theory of linear operators in Hilbert space, Dover Publ., Inc. (1993).

D. Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, H. de Snoo, Schur functions, operator colligations, and reproducing kernel pontryagin spaces, Oper. Theory Adv. and Appl., 96 (1997), https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8908-7 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8908-7

J. Behrndt, H. de Snoo, S. Hassi, Boundary value problems, Weyl functions, and differential operators, Monographs Math., 108 (2020); https://doi.org/10.1007/978-3-030-36714-5. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-36714-5

J. Bognar, Indefinite inner product spaces, Springer-Verlag, Berlin etc. (1974). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-65567-8

M. Borogovac, Inverse of generalized Nevanlinna function that is holomorphic at infinity, North-West Eur. J. Math., 6, 19 – 43 (2020), https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.72 DOI: https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.72

M. Borogovac, H. Langer, A characterization of generalized zeros of negative type of matrix functions of the class $N^{ntimes n}_kappa$, Oper. Theory Adv. and Appl., 28, 17 – 26 (1988). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9164-6_1

K. Daho, H. Langer, Matrix functions of the class $N_kappa$ Math. Nachr., 120, 275 – 294 (1985), https://doi.org/10.1002/mana.19851200123 DOI: https://doi.org/10.1002/mana.19851200123

A. Dijksma, H. Langer, H. S. V. de Snoo, Eigenvalues and pole functions of Hamiltonian systems with eigenvalue depending boundary conditions, Math. Nachr., 161, 107 – 154 (1993), https://doi.org/10.1002/mana.19931610110 DOI: https://doi.org/10.1002/mana.19931610110

S. Hassi, H. S. V. de Snoo, H. Woracek, Some interpolation problems of Nevanlinna – Pick type, Oper. Theory Adv. and Appl., 106, 201 – 216 (1998). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8812-7_10

I. S. Iohvidov, M. G. Kreĭn, H. Langer, Introduction to the spectral theory of operators in spaces with an indefinite metric, Akad.-Verlag, Berlin (1982).

M. G. Kreĭn, H. Langer, Über die $Q$-Funktion eines $pi $-hermiteschen Operators im Raume $Pi sb{kappa }$. (German), Acta Sci. Math., 34, 190 – 230 (1973).

M. G. Kreĭn, H. Langer, Über einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit der Theorie hermitescher Operatoren im Raume $Pi sb{kappa }$ zusammenhängen. I. Einige Funktionenklassen und ihre Darstellungen, Math. Nachr., 77, 187 – 236 (1977), https://doi.org/10.1002/mana.19770770116 DOI: https://doi.org/10.1002/mana.19770770116

H. Langer, B. Textorius, On generalized resolvents and $Q$-functions of symmetric linear relations (subspaces) in Hilbert space, Pacif. J. Math., 72, № 1, 135 – 165 (1977). DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1977.72.135

A. Luger, Generalized Nevanlinna functions: operator representations, asymptotic behavior, Operator Theory (2014), p. 345 – 371; https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0667-1-35. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0667-1_35

A. Luger, A characterization of generalized poles of generalized Nevanlinna functions, Math. Nachr., 279, 891 – 910 (2006), https://doi.org/10.1002/mana.200310401 DOI: https://doi.org/10.1002/mana.200310401

H. de Snoo, H. Woracek, The Krein formula in almost Pontryagin spaces. A proof via orthogonal coupling, Indag. Math. (N. S.), 29, № 2, 714 – 729 (2018), https://doi.org/10.1016/j.indag.2017.12.001 DOI: https://doi.org/10.1016/j.indag.2017.12.001

P. Sorjonen, On linear relations in an indefinite inner product space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 4, 169 – 192 (1978/1979), https://doi.org/10.5186/aasfm.1978-79.0424 DOI: https://doi.org/10.5186/aasfm.1978-79.0424