Топології на $n$-елементній множині, узгоджені з топологіями близькими до дискретних на $(n −1)$-елементній множині

П. Г. Стєганцева; А. В. Скрябіна

doi:10.37863/umzh.v73i2.6174

П. Г. Стєганцева Запорізький національний університет https://orcid.org/0000-0001-5391-2001
А. В. Скрябіна Запорізький національний університет https://orcid.org/0000-0001-8871-139X

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i2.6174

Анотація

УДК 519.1

В роботi топологiї на скiнченнiй множинi описуються неспадною послiдовнiстю невiд’ємних цiлих чисел (вектором топологiї). Дослiджуються $T_0$ -топологiї на $n$-елементнiй множинi, якi iндукують на $(n - 1)$-елементнiй множинi топологiї з $k > 2^{n - 1} $ (цi iндукованi топологiї називають близькими до дискретної). Символом $k$ позначено кiлькiсть вiдкритих множин у топологiї. Знайдено вигляд вектора $T_0$ -топологiй з $k \geq 5 \cdot 2^{n - 4}$, якi описано в роботах Stanley i Kolli, i значення $k \in [5 \cdot 2^{n - 4}, 2^{n - 1}]$, для яких не iснують $T_0$-топологiї з $k$ вiдкритими множинами. Описано всi помiченi $T_0$-топологiї i знайдено їхню кiлькiсть для кожного $k \geq 13 \cdot 2^{n - 5}$. Показано iснування таких значень $k \in (2^{n - 2}, 5 \cdot 2^{n - 4})$, що жодна $T_0$ -топологiя з $k$ вiдкритими множинами не iндукує на $(n - 1)$-елементнiй множинi близьку до дискретної топологiю.

Посилання

J. W. Evans, F. Harary, M. S. Lynn, On the computer enumeration of finite topologies, Commun. ACM, 10, № 5, 295 – 297 (1967). DOI: https://doi.org/10.1145/363282.363311

M. Kolli, Direct and elementary approach to enumerate topologies on a finite set, J. Integer Seq., 10, 1 – 11 (2007).

M. Kolli, On the cardinality of the $T_0$ -topologies on a finite set, Int. J. Combin., 214, Article ID 798074 (2014), 7 p., https://doi.org/10.1155/2014/798074 DOI: https://doi.org/10.1155/2014/798074

V. Krishnamurthy, On the enumeration of homeomorphism classes of finite topologies, J. Austr. Math. Soc., Ser. A, 24, 320 – 338 (1977), https://doi.org/10.1017/s1446788700020358 DOI: https://doi.org/10.1017/S1446788700020358

Jr. H. Sharp, Quasi-orderings and topologies on finite sets, Proc. Amer. Math. Soc., 17, 1344 – 1349 (1966), https://doi.org/10.2307/2035738 DOI: https://doi.org/10.2307/2035738

Jr. H. Sharp, Cardinality of finite topologies, J. Combin. Theory, 5, 82 – 86 (1968). DOI: https://doi.org/10.1016/S0021-9800(68)80031-6

R.P. Stanley, On the number of open sets of finite topologies, J. Combin. Theory, 10, 74 – 79 (1971), https://doi.org/10.1016/0097-3165(71)90065-3 DOI: https://doi.org/10.1016/0097-3165(71)90065-3

D. Stephen, Topology on finite sets, Amer. Math. Monthly, 75, 739 – 741 (1968), https://doi.org/10.2307/2315186 DOI: https://doi.org/10.2307/2315186

N. P. Adamenko, I. G. Velichko, Klassifikacziya topologij na konechny`kh mnozhestvakh s pomoshh`yu grafov, Ukr. mat. zhurn., 60, № 7, 992 – 996 (2008).

Z. I. Borevich, K voprosu perechisleniya konechny`kh topologij, Zap. nauch. sem. LOMI, 71, 47 – 65 (1977).

I. G. Velichko, P. G. Steganczeva, N. P. Bashova, Perechislenie topologij blizkikh k diskretnoj na konechny`kh mnozhestvakh, Izv. vuzov. Matematika, № 11. 23 – 31 (2015). DOI: https://doi.org/10.1590/0102-4698136686

On-lajn e`ncziklopediya czelochislenny`kh posledovatel`nostej. URL: https://oeis.org/?language =russian.