Функціональна гранична теорема без центрування для загальних процесів дробового ефекту

О. Іксанов; Б. Рашитов

doi:10.37863/umzh.v73i2.6210

О. Іксанов Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка https://orcid.org/0000-0002-6764-7330
Б. Рашитов Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i2.6210

Ключові слова: загальний процес дробового ефекту; лічильний процес; неперервність за Гьольдером; слабка збіжність у просторі Скорохода

Анотація

УДК 519.27

Загальним процесом дробового ефекту ми називаємо згортку детермінованої функції, що належить простору Скорохода, та локально скінченного лічильного процесу, заданого на невід'ємній півосі.В цій статті запропоновано достатні умови, за яких належним чином нормалізований (без центрування) загальний процес дробового ефекту слабко збігається у просторі Скорохода. Наведено кілька прикладів конкретних лічильних процесів, що задовольняють ці достатні умови, разом із відповідними граничними теоремами. Продовжено дослідження, розпочаті в статті О. Іксанова та Б. Рашитова (2020 р.), де було доведено функціональну граничну теорему з центруванням із (гауссівськими) процесами типу Рімана–Ліувілля в якості граничних процесів.

Посилання

P. Billingsley, Convergence of probability measures, 2nd ed., John Wiley and Sons, New York (1999), https://doi.org/10.1002/9780470316962 DOI: https://doi.org/10.1002/9780470316962

N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Cambridge Univ. Press (1989).

C. Dong, A. Iksanov, Weak convergence of random processes with immigration at random times, J. Appl. Probab., 57 , № 1, 250 – 265 (2020), https://doi.org/10.1017/jpr.2019.88 DOI: https://doi.org/10.1017/jpr.2019.88

A. Gut, Stopped random walks. Limit theorems and applications, 2nd ed., Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer, New York, (2009), https://doi.org/10.1007/978-0-387-87835-5 DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-387-87835-5

A. Iksanov, Functional limit theorems for renewal shot noise processes with increasing response functions, Stoch.Process and Appl., 123 , № 6, 1987 – 2010 (2013), https://doi.org/10.1016/j.spa.2013.01.019 DOI: https://doi.org/10.1016/j.spa.2013.01.019

A. Iksanov, Z. Kabluchko, A. Marynych, G. Shevchenko, Fractionally integrated inverse stable subordinators, Stoch. Process and Appl., 127, № 1, 80 – 106 (2016), https://doi.org/10.1016/j.spa.2016.06.001 DOI: https://doi.org/10.1016/j.spa.2016.06.001

A. Iksanov, M. Meiners, Exponential rate of almost sure convergence of intrinsic martingales in supercritical branching random walks, J. Appl. Probab., 47 , №2, 513 – 525 (2010), https://doi.org/10.1239/jap/1276784906 DOI: https://doi.org/10.1239/jap/1276784906

A. Iksanov, B. Rashytov, A functional limit theorem for the general shot noise processes, J. Appl. Probab., 57 , №1, 280 – 294 (2020), https://doi.org/10.1017/jpr.2019.95 DOI: https://doi.org/10.1017/jpr.2019.95

J. Jacod, A. N. Shiryaev, Limit theorems for stochastic processes, 2nd ed., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 288. Springer-Verlag, Berlin, (2003), https://doi.org/10.1007/978-3-662-05265-5 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-05265-5

M. M. Meerschaert, H. P. Scheffler, Limit theorems for continuous time random walks with infinite mean waiting times, J. Appl. Probab., 41 , № 3, 623 – 638 (2004), https://doi.org/10.1239/jap/1091543414 DOI: https://doi.org/10.1239/jap/1091543414

T. Owada, G. Samorodnitsky, Functional central limit theorem for heavy tailed stationary infinitely divisible processes generated by conservative flows, Ann. Probab., 43 , № 1, 240 – 285 (2015), https://doi.org/10.1214/13-AOP899 DOI: https://doi.org/10.1214/13-AOP899

G. Pang, Y. Zhou, Functional limit theorems for shot noise processes with weakly dependent noises, Stoch. Syst., 10 , № 2, 99 – 123 (2020), https://doi.org/10.1287/stsy.2019.0051 DOI: https://doi.org/10.1287/stsy.2019.0051

S. I. Resnick, Heavy-tail phenomena: probabilistic and statistical modeling, Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer, New York, (2007).

S. Resnick, P. Greenwood, A bivariate stable characterization and domains of attraction, J. Multivar. Anal., 9 , № 2, 206 – 221 (1979), https://doi.org/10.1016/0047-259X(79)90079-4 DOI: https://doi.org/10.1016/0047-259X(79)90079-4

M. Tamborrino, P. Lansky, Shot noise, weak convergence and diffusion approximations, Phys. D 418 (2021), 132845. https://arxiv.org/abs/2005.06067, https://doi.org/10.1016/j.physd.2021.132845 DOI: https://doi.org/10.1016/j.physd.2021.132845

M. Yamazato, On a J1 -convergence theorem for stochastic processes on $D[0,infty )$ having monotone sample paths and its applications, RIMS Kˆokyˆuroku, 1620 , 109 – 118 (2009).

G. Ver`ovkin, O. Marinich, Staczionarni graniczi proczesiv drobovogo efektu, Teoriya Imovirnoste ta Matematychna Statystyka, 101, 63 – 77 (2019).