On Lappan's five-valued theorem for $\varphi$-normal functions in several variables

G.  Datt

doi:10.37863/umzh.v74i9.6237

G. Datt Babasaheb Bhimrao Ambedkar University, Lucknow, India

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i9.6237

Анотація

УДК 517.5

Про п'ятизначну теорему Лаппана для $\varphi$-нормальних функцій кількох змінних

Нехай $\mathbb{U}^m\subset\mathbb{C}^m$ — одинична куля з центром у початку координат, $\mathbb{P}^n$ — $n$-вимірний комплексний проективний простір з метрикою $E_{\mathbb{P}^n},$ а $\varphi\colon [0,1)\rightarrow(0,\infty)$ — плавно зростаюча функція. Голоморфне відображення $f\!:\mathbb{U}^m\rightarrow\mathbb{P}^n$ називається {\it $\varphi$-нормальним}, якщо $({\varphi(\|z\|))}^{-1}{(E_{\mathbb{P}^n}(f(z),df(z))(\xi))}$ обмежено зверху для $z\in\mathbb{U}^m$ і $\xi\in\mathbb{C}^m$ так, що $\|\xi\|=1,$ де $df(z)$ — відображення з $T_z\big(\mathbb{U}^m\big)$ у $T_{f(z)}\big(\mathbb{P}^n\big)$, індуковане $f.$ При $n=1$ $f$ називається $\varphi$-нормальною функцією. Встановлено розширення п'ятизначної теореми Лаппана на клас $\varphi$-нормальних функцій.

Посилання

R. Aulaskari, J. R"atty"a, Properties of meromorphic $varphi$-normal function, Michigan Math. J., 60, 93 – 111 (2011).

P. V. Dovbush, Zalcman's lemma in $mathbb{C}^n,$} Complex Var. and Elliptic Equat., 65, № 5, 796 – 800 (2020).

W. K. Hayman, Meromorphic functions, Clarendon Press, Oxford (1964).

P. C. Hu, N. V. Thin, Generalizations of Montel's normal criterion and Lappan's five-valued theorem to holomorphic curves, Complex Var. and Elliptic Equat., 65, 525 – 543 (2020).

P. Lappan, A criterion for a meromorphic function to be normal, Comment. Math. Helv., 49, 492 – 495 (1974).

O. Lehto, K. L. Virtanen, Boundary behaviour and normal meromorphic functions, Acta Math., 97, 47 – 65 (1957).

Ch. Pommerenke, Problems in complex function theory, Bull. London Math. Soc., 4, 354 – 366 (1972).

T. V. Tan, N. V. Thin, On Lappan's five-point theorem, Comput. Methods and Funct. Theory, 17, 47 – 63 (2017).