Eigenfunction and Green’s function asymptotics for Hill’s equation with symmetric single well potential

A. Kabataş

doi:10.37863/umzh.v74i2.6246

A. Kabataş KaradenizTechn.Univ.,Trabzon,Turkey

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i2.6246

Анотація

УДК 517.9

Aсимптотика власної функцiї та функцiї Грiна для рiвняння Хiлла iз симетричним потенцiалом з однiєю ямою

Статтю присвячено встановленню асимптотичних формул для власних функцій рівняння Хілла із симетричним потенціалом однієї свердловини при періодичних та напівперіодичних граничних умовах. При цьому використано результати для власних значень, отримані в роботі H. Coşkun та ін. (2019). За допомогою відповідних оцінок для власних функцій отримано функції Гріна, пов’язані з рівнянням Хілла. Метод базується на роботі Ч. Т. Фултона (1977) щодо асимптотичного отримання функцій Гріна. У цьому методі нам потрібні похідні розв’язків, тому обчислено також асимптотичні наближення похідних власних функцій із різними типами обмежень на потенціал.

Посилання

E. Ba¸skaya, Periodic and semi-periodic eigenvalues of Hill’s equation with symmetric double well potential, TWMS J. App. Eng. Math., 10, № 2, 346 – 352 (2020).

M. Bartuccelli, G. Gentile, J. A. Wright, On a class of Hill’s equations having explicit solutions, Appl. Math. Lett., (10) 26, 1026 – 1030 (2013), https://doi.org/10.1016/j.aml.2013.05.005

A. Cabada, J. A. Cid, On comparison principles for the periodic Hill’s equation, J. London Math. Soc., (2), 86, 272 – 290 (2012), https://doi.org/10.1112/jlms/jds001

A. Cabada, J. A. Cid, L. Lopez-Somoza, Green’s functions and spectral theory for the Hill’s equation, Appl. Math. and Comput., 286, 88 – 105 (2016), https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.03.039

A. Cabada, J. A. Cid, L. Lopez-Somoza, Maximum principles for the Hill’s equation, Acad. Press (2018).

H. Coşkun, E. Başkaya, A. Kabataş, Instability intervals for Hill’s equation with symmetric single well potential, Ukr. Math. J., 71, № 6, 977 – 983 (2019), https://doi.org/10.1007/s11253-019-01692-x

H. Coşkun, A. Kabataş, E. Başkaya, On Green’s function for boundary value problem with eigenvalue dependent quadratic boundary condition, Boundary Value Problems, 71 (2017),https://boundaryvalueproblems.springeropen.com/articles/10.1186/s13661-017-0802-0

H. Coşkun, A. Kabataş, Green’s function of regular Sturm – Liouville problem having eigenparameter in one boundary condition, Turkish J. Math. and Comput. Sci., 4, 1 – 9 (2016),https://dergipark.org.tr/tr/download/article-file/208729

L. Csizmadia, L. Hatvani, An Extension of the Levi –Weckesser method to the stabilization of the inverted pendulum under gravity, Springer Sci. + Business Media, Dordrecht (2013), https://doi.org/10.1007/s11012-013-9855-z

M. S. P. Eastham, Theory of ordinary differential equations, Van Nostrand Reinhold (1970).

M. S. P. Eastham, The spectral theory of periodic differential equations, Scottish Acad. Press, Edinburgh, London (1973).

C. T. Fulton, Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 77, 293 – 308 (1977), https://doi.org/10.1017/S030821050002521X

M. J. Huang, The first instability interval for Hill equations with symmetric single well potentials, Proc. Amer. Math. Soc., 125, 775 – 778 (1997), https://doi.org/10.1090/S0002-9939-97-03705-2

R. N. Jazar, Approximation methods in science and engineering, Springer Sci. + Business Media, LLC (2020), https://doi.org/10.1007/978-1-0716-0480-9

W. Magnus, S. Winkler, Hill’s equation, Dover Publ., New York (2004).

H. P. McKean, P. van Moerbeke, The spectrum of Hill’s equation, Inventiones Math., 30, 217 – 274 (1975), https://doi.org/10.1007/BF01425567

A. A. Pokutnyi, Periodic solutions of the Hill equation, J. Math. Sci., 197, № 1, 114 – 121 (2014), https://doi.org/10.1007/s10958-014-1707-4