Класифікація реалізацій алгебр Лі векторних полів на колі

С. В.  Спічак

doi:10.37863/umzh.v74i3.6270

С. В. Спічак Iн-т математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i3.6270

Ключові слова: реалізації алгебр Лі, глобальні перетворення еквівалентності

Анотація

УДК 517.986.5

Описано реалізації скінченновимірних алгебр Лі векторних полів на колі.
Побудовано ,,канонічні'' реалізації двовимірної некомутативної алгебри, а також алгебри $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R).$ Показано, що будь-яка реалізація цих алгебр гладких векторних полів зводиться до однією із ,,канонічних'' за допомогою кусково-гладких глобальних перетворень кола на себе, а також отримано формули для розрахунку кількості нееквівалентних реалізацій.

Посилання

S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, 3, Teubner, Leipzig (1893).

Gonzalez-López A., N. Kamran, P. J. Olver, Lie algebras of vector fields in the real plane, Proc. London Math. Soc., 64, no. 2, 339 – 368 (1992), https://doi.org/10.1112/plms/s3-64.2.339

I. A. Yehorchenko, Nonlinear representation of the Poincare algebra and invariant equations, Symmetry Anal. Equat. Math. Phys., Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, Kyiv, 62 – 66 (1992).

R. Z. Zhdanov, V. I. Lahno, W. I. Fushchych, On covariant realizations of the Euclid group, Comm. Math. Phys., 212, no. 3, 535 – 556 (2000).

M. Nesterenko, S. Posta, O. Vaneeva, Realizations of Galilei algebras, J. Phys. A: Math. Theor., 49, 115203, 26 pp. (2016), https://doi.org/10.1088/1751-8113/49/11/115203

R. O. Popovych, V. M. Boyko, M. O. Nesterenko, M. W. Lutfullin, Realizations of real low-dimensional Lie algebras, J. Phys. A: Math. Gen., 36, no. 26, 7337 – 7360; (2003) arXiv:math-ph/0301029, https://doi.org/10.1088/0305-4470/36/26/309

A. G. Sergeev, Geometricheskoe kvantovanie prostranstv petel', Sovr. probl. matematiki, 13, MIAN, Moskva, 3 – 294 (2009).

M. S. Strigunova, Konechnomernye podalgebry v algebre Li vektornyh polej na okruzhnosti, Tr. MIAN, 236, 338 – 342 (2002).

V. A. Zajceva, V. V. Kruglov, A. G. Sergeev, M. S. Strigunova, K. A. Trushkin, Konechnomernye podalgebry v algebre Li vektornyh polej na okruzhnosti, Tr. MIAN,224, 139 – 151 (1999).

S. V. Spichak, Preliminary classification of realizations of two-dimensional Lie algebras of vector fields on a circle, Group analysis of differential equations and integrable systems, 212 – 218, Department of Mathematics and Statistics, University of Cyprus, Nicosia, 2013.

E. Pressli, G. Sigal, Gruppy petel', Mir, Moskva (1990).

B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko, Sovremennaya geometriya. Metody i prilozheniya, Nauka, Moskva (1986).

V. I. Lagno, S. V. Spichak, V. I. Stognij, Simetrijnij analiz rivnyan' evolyucijnogo tipu, Praci Institutu matematiki NAN Ukrayni. Matematika ta ii zastosuvannya, Kiyv (2002).

V. B. Stepanov, Kurs differencial'nyh uravnenij, Moskva: Gos. izd-vo tekhn.-teoret. lit.,1950.

G. M. Mubarakzyanov, O razreshimyh algebrah Li, Izv. vyssh. uchebn. zaved. Matematika, № 1, 114 – 123 (1963).

G. M. Mubarakzyanov, Klassifikaciya veshchestvennyh struktur algebr Li pyatogo poryadka, Izv. vyssh. uchebn. zaved. Matematika, № 3, 99 – 106 (1963).

G. M. Mubarakzyanov, Klassifikaciya razreshimyh algebr Li shestogo poryadka s odnim nenil'potentnym bazisnym elementom, Izv. vyssh. uchebn. zaved. Matematika, № 4, 104 – 116 (1963).

P. Turkowski, Solvable Lie algebras of dimension six, J. Math. Phys., 31, № 6, 1344 – 1350 (1990), https://doi.org/10.1063/1.528721

K. Shevalle, Teoriya grupp Li, T. 3. Obshchaya teoriya algebr Li, Izd-vo inostr. lit., Moskva (1958).