On time inhomogeneous stochastic Itô equations with drift in $L_{d+1}$

N. V.  Krylov

doi:10.37863/umzh.v72i9.6280

N. V. Krylov Univ. Minnesota, Minneapolis, MN, USA

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i9.6280

Ключові слова: Itˆo’s equations with singular drift, Markov diffusion processes

Анотація

УДК 519.21

Про неоднорiднi за часом стохастичнi рiвняння Іто з переносом в $L_{d+1}$

Доведено розв'язність стохастичних рівнянь Іто з рівномірно невиродженою та обмеженою матрицею дифузії і з переносом в $L_{d+1}(R^{d+1}).$ Справді, показники інтегровності по $x$ і $t$
можуть відрізнятися. Цей результат є новим навіть коли дифузія стала. Метод, який ми використовуємо, належить А. В. Скороходу. Питання про слабку єдиність є відкритим навіть коли дифузія стала.

Біографічна довідка автора

N. V. Krylov, Univ. Minnesota, Minneapolis, MN, USA

Univ. Minnesota, Minneapolis, MN, USA

Посилання

S. V. Anulova, G. Pragarauskas, Weak Markov solutions of stochastic equations, Litovsk. Mat. Sb., 17, No. 2, 5 – 26 (1977); English translation: Lith. Math. J., 17, No. 2, 141 – 155 (1977)

L. Beck, F. Flandoli, M. Gubinelli, M. Maurelli, Stochastic ODEs and stochastic linear PDEs with critical drift:

regularity, duality and uniqueness, Electron. J. Probab., 24, No. 136, 1 – 72 (2019), https://doi.org/10.1214/19-ejp379 DOI: https://doi.org/10.1214/19-EJP379

E. B. Dynkin, Markov processes, Fizmatgiz, Moscow (1963); English translation: Grundlehren Math. Wiss., Vols. 121, 122, Springer-Verlag, Berlin (1965).

N. V. Krylov, On the selection of a Markov process from a system of processes and the construction of quasi-diffusion processes, Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. mat., 37, No. 3, 691 – 708 (1973); English translation: Math. USSR Izv., 7, No. 3, 691 – 709 (1973).

N. V. Krylov, Controlled diffusion processes, Nauka, Moscow (1977); English translation: Springer (1980). xii+308 pp. ISBN: 0-387-90461-1

N. V. Krylov, On estimates of the maximum of a solution of a parabolic equation and estimates of the distribution of a semimartingale, Mat. Sb., 130, No. 2, 207 – 221 (1986); English translation: Math. USSR Sb., 58, No. 1, 207 – 222(1987), https://doi.org/10.1070/SM1987v058n01ABEH003100

N. V. Krylov, Introduction to the theory of diffusion processes, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1995). xii+271 pp. ISBN: 0-8218-4600-0, https://doi.org/10.1090/mmono/142 DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/142

N. V. Krylov, Sobolev and viscosity solutions for fully nonlinear elliptic and parabolic equations, Math. Surveys and Monogr., 233, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2018). xiv+441 pp. ISBN: 978-1-4704-4740-3, https://doi.org/10.1090/surv/233 DOI: https://doi.org/10.1090/surv/233

N. V. Krylov, On stochastic equations with drift in $L_d$ ; http://arxiv.org/abs/2001.04008.

Kyeongsik Nam, Stochastic differential equations with critical drifts, arXiv:1802.00074 (2018).

A. I. Nazarov, Interpolation of linear spaces and estimates for the maximum of a solution for parabolic equations, Partial Different. Equat., Akad. Nauk SSSR, Sibirsk. Otdel., Inst. Mat., Novosibirsk (1987), 50 – 72; Translated into English as On the maximum principle for parabolic equations with unbounded coefficients, https:// arxiv.org/abs/1507.05232.

N. I. Portenko, Generalized diffusion processes, Nauka, Moscow (1982): English translation: Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island (1990). x+180 pp. ISBN: 0-8218-4538-1, https://doi.org/10.1090/mmono/083 DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/083

A. V. Skorokhod, Studies in the theory of random processes, Kiev Univ. Press (1961); English translation: Scripta Technica, Washington (1965).

D. W. Stroock, S. R. S. Varadhan, Multidimensional diffusion processes, Grundlehren Math. Wiss., 233, Berlin, New York, Springer-Verlag (1979).

Longjie Xie, Xicheng Zhang, Ergodicity of stochastic differential equations with jumps and singular coefficients, Ann. Inst. Poincare Probab. Stat., ´ 56, No. 1, 175 – 229 (2020), https://doi.org/10.1214/19-AIHP959 DOI: https://doi.org/10.1214/19-AIHP959

T. Yastrzhembskiy, A note on the strong Feller property of diffusion processes; arXiv:2001.09919.

I. Gyöngy, T. Martínez, On stochastic differential equations with locally unbounded drift, Czechoslovak Math. J., 51(126), No 4, 763 – 783 (2001), https://doi.org/10.1023/A:1013764929351 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1013764929351