Про взаємозв'язок точних нерівностей типу Колмогорова та Колмогорова-Ремеза

В. О. Кофанов

doi:10.37863/umzh.v73i4.6310

В. О. Кофанов Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i4.6310

Ключові слова: Точні константи в нерівностях типу Колмогорова, Ремеза, Бернштейна, теорема про взаємозв'язок.

Анотація

УДК 517.5

Доведено теорему про взаємозв'язок точних констант у нерівностях типу Колмогорова і Колмогорова–Ремеза для диференційовних періодичних функцій. Як наслідок встановлено новi точнi нерiвностi типу Колмогорова–Ремеза на класах таких функцій. Крім того, отримано новi точнi нерiвностi типу Бернштейна–Ремеза для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

Посилання

B. E. Klocz, Priblizhenie differencziruemy`kh funkczij funkcziyami bol`shej gladkosti, Mat. zametki, 21, № 1, 21 – 32 (1977).

N. P. Kornejchuk, V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Neravenstva dlya proizvodny`kh i ikh prilozheniya, Nauk. dumka, Kiev (2003).

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Tochny`e neravenstva tipa Kolmogorova s ogranichennoj starshej proizvodnoj v sluchae maly`kh gladkostej, Ukr. mat. zhurn., 53, № 10, 1298 – 1308 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1015226223806

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Sravnenie tochny`kh konstant v neravenstvakh dlya proizvodny`kh na dejstvitel`noj osi i na okruzhnosti, Ukr. mat. zhurn., 55, № 5, 579 – 589 (2003).

V. A. Kofanov, V. E. Miropolskiy, On the best constants in inequalities of Kolmogorov type, East J. Approx., 13, № 4, 455 – 466 (2007).

V. G. Solyar, Ob odnom neravenstve mezhdu normami funkczii i ee proizvodny`kh, Izv. vuzov. Matematika, 2, 165 – 168 (1976).

E. Remes, Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef, Zap. Nauk.-doslid. in-tu matematiki j mekhaniki ta Kharkiv. mat. t-va, ser. 4, 13, vip. 1, 93 – 95 (1936).

M. I. Ganzburg, On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials, J. Approx. Theory, 164, 1233 – 1237 (2012), https://doi.org/10.1016/j.jat.2012.05.006 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2012.05.006

E. Nursultanov, S. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Consr. Approx., 38, 101 – 132 (2013), https://doi.org/10.1007/s00365-012-9172-0 DOI: https://doi.org/10.1007/s00365-012-9172-0

M. I. Ganzburg, Polynomial inequalities on measurable sets and their applications, Consr. Approx., 17, 275 – 306 (2001), https://doi.org/10.1007/s003650010020 DOI: https://doi.org/10.1007/s003650010020

S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality, https://www.researchgate.net/publication/327905401.

V. A. Kofanov, Tochny`e neravenstva tipa Remeza dlya differencziruemy`kh periodicheskikh funkczij, polinomov i splajnov, Ukr. mat. zhurn., 68, № 2, 227 – 240 (2016).

B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J. Anal. Math., 78, 263 – 280 (1999), https://doi.org/10.1007/BF02791137 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02791137

V. A. Kofanov, Tochny`e verkhnie grani norm funkczij i ikh proizvodny`kh na klassakh funkczij s zadannoj funkcziej sravneniya, Ukr. mat. zhurn., 63, № 7, 969 – 984 (2011).

V. A. Kofanov, Neravenstva razny`kh metrik dlya differencziruemy`kh periodicheskikh funkczij, Ukr. mat. zhurn., 67, № 2, 202 – 212 (2015).

V. A. Kofanov, Tochny`e neravenstva razny`kh metrik tipa Remeza dlya differencziruemy`kh periodicheskikh funkczij, polinomov i splajnov, Ukr. mat. zhurn., 69, № 2, 173 – 188 (2017).

A. E. Gajdabura, V. A. Kofanov, Tochny`e neravenstva razny`kh metrik tipa Remeza na klassakh funkczij s zadannoj funkcziej sravneniya, Ukr. mat. zhurn., 69, № 11, 1472 – 1485 (2017).

V. A. Kofanov, I. V. Popovich, Tochny`e neravenstva razny`kh metrik tipa Remeza s nesimmetrichny`mi ogranicheniyami na funkczii, Ukr. mat. zhurn., 72, № 7, 918 – 927 (2020). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i7.2352

V. A. Kofanov, Tochny`e neravenstva tipa Kolmogorova – Remeza dlya periodicheskikh funkczij maloj gladkosti, Ukr. mat. zhurn., 72, № 2, 483 – 493 (2020). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i4.963

A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and $L_{q}$theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35, № 2, 148 – 168 (1982), https://doi.org/10.1016/0021-9045(82)90033-8 DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(82)90033-8

A. Zigmund, Trigonometricheskie ryady`, t. 2, Mir, Moskva (1965).

V. V. Arestov, Ob integral`ny`kh neravenstvakh dlya polinomov i splajnov, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 45, 3 – 32 (1982).

V. A. Kofanov, O tochny`kh neravenstvakh tipa Bernshtejna dlya splajnov, Ukr. mat. zhurn., 58, № 10, 1357 – 1367 (2006).