Лівий найбільший спільний дільник і ліве найменше спільне кратне всіх розв’язків матричного рівняння $BX = A$ над комутативною областю елементарних дільників

В. П. Щедрик

doi:10.37863/umzh.v73i2.6321

В. П. Щедрик Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i2.6321

Анотація

УДК 512.64

Над комутативною областю елементарних дільників вказано явний вигляд лівого найбільшого спільного дільника i лівого найменшого спільного кратного всіх коренів розв'язного матричного рівняння $BX=A$ і доведено, що вони також є розв'язками цього рівняння.

Посилання

W. J. Vetter, Vector structures and solutions of linear matrix equations, Linear Algebra and Appl., 10, № 2, 181 – 188 (1975), https://doi.org/10.1016/0024-3795(75)90010-5 DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(75)90010-5

J. R. Magnus, H. Neudecker, The elimination matrix: some lemmas and applications, SIAM J. Algebraic and Discrete Methods, 1, № 4, 422 – 449 (1980), https://doi.org/10.1137/0601049 DOI: https://doi.org/10.1137/0601049

F. J. Don, On the symmetric solutions of a linear matrix equation, Linear Algebra and Appl., 93, 1 – 7 (1987), https://doi.org/10.1016/S0024-3795(87)90308-9 DOI: https://doi.org/10.1016/S0024-3795(87)90308-9

C. G. Khatri, S. K. Mitra, Hermitian and nonnegative definite solutions of linear matrix equations, J. Appl. Math., 31, № 4, 579 – 585 (1976), https://doi.org/10.1137/0131050 DOI: https://doi.org/10.1137/0131050

A. Ran, M. Reurings, A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations, Proc.Amer. Math. Soc., 132, № 5, 1435 – 1443 (2004), https://doi.org/10.1090/S0002-9939-03-07220-4 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-03-07220-4

B. Recht, M. Fazel, P. Parrilo, Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization, https://doi.org/10.1137/070697835. DOI: https://doi.org/10.1137/070697835

J. R. Magnus, $L$-structured matrices and linear matrix equations, Linear Algebra and Appl., 14, № 1, 67 – 88 (1983), https://doi.org/10.1080/03081088308817543 DOI: https://doi.org/10.1080/03081088308817543

I. Kaplansky, Elementary divisor and modules, Trans. Amer. Math. Soc., 66, 464 – 491 (1949), https://doi.org/10.2307/1990591 DOI: https://doi.org/10.2307/1990591

V. A. Bovdi, V. P. Shchedryk, Commutative Bezout domains of stable range 1.5, Linear Algebra and Appl., 568, 127 – 134 (2019), https://doi.org/10.1016/j.laa.2018.06.012 DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2018.06.012

B. V. Zabavsky, Diagonal reduction of matrices over rings, Math. Stud. Monogr. Ser. (2012).

P. S. Kazimirs`kij, Rozklad matrichnikh mnogochleniv na mnozhniki, Nauk. dumka, Kiyiv (1981).

. V. P. Shchedryk, Faktorizacziya matricz` nad kil`czyami elementarnikh dil`nikiv, L`viv: In-t prikl. probl. mekhaniki i matematiki NAN Ukrayini, L`viv (2017).

V. P. Shchedryk, Factorization of matrices over elementary divisor domain, Algebra and Discrete Math., № 2, 79 – 99 (2009).