Диференціальні інваріанти, прихована та умовна симетрія

І. A. Єгорченко

doi:10.37863/umzh.v73i8.6377

І. A. Єгорченко Iн-т математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i8.6377

Ключові слова: умовна симетрія, прихована симетрія, диференціальні інваріанти

Анотація

УДК 517.958:512.86

Наведено огляд розвитку поняття прихованої симетрiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними та результатiв, отриманих автором ранiше, а також новi приклади класiв рiвнянь, що мають приховану симетрiю II типу, i пояснено природу ранiше знайденої некласичної симетрiї деяких рiвнянь.
Наведено конструктивний алгоритм для опису класiв рiвнянь, якi мають визначену умовну або приховану симетрiю, та/або можуть бути редукованi до рiвнянь з меншою кiлькiстю незалежних змiнних з використанням заданого анзацу. Розглянуто редукцiї, якi виникають завдяки лiївськiй та умовнiй симетрiї, а також завдяки прихованiй симетрiї II типу. Обговорено взаємозв’язки мiж поняттями прихованої та умовної симетрiї. Встановлено, що прихована симетрiя II типу, яка ранiше розглядалась як окремий тип нелiївської симетрiї, насправдi виникає внаслiдок нетривiальної $Q$-умовної симетрiї редукованих рiвнянь. Такий пiдхiд дозволяє не тiльки знаходити приховану
симетрiю та новi редукцiї вiдомих рiвнянь, але й описувати загальний вигляд рiвнянь iз заданою $Q$-умовною та прихованою симетрiєю II типу.
Як приклади описано загальнi класи рiвнянь, що мають порушену симетрiю вiдносно поворотiв у групах Лоренца та Eвклiда, для яких вiдповiдна прихована та умовна симетрiя дозволяє редукцiю до радiальних рiвнянь з меншою кiлькiстю незалежних змiнних.

Посилання

S. Lie, Klassifikation und Integration von gewohnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von ¨Transformationen gestatten, III, Arch. Mat. Naturvidenskab, 8, № 4, 371 – 427 (1883), Reprinted in Lie’s Gessammelte Abhandlungen, 5, 362 – 427 (1924).

G. W. Bluman, J. D. Cole, The general similarity solution of the heat equation, J. Math. and Mech., 18, 1025 – 1042 (1969). DOI: https://doi.org/10.1512/iumj.1969.18.18074

P. J. Olver, P. Rosenau, The construction of special solutions to partial differential equations, Phys. Lett. A, 114, 107 – 112 (1986); https://doi.org/10.1016/0375-9601(86)90534-7 DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(86)90534-7

W. I. Fushchych, I. M. Tsyfra, On a reduction and solutions of the nonlinear wave equations with broken symmetry, J. Phys. A, 20, L45 – L48 (1987); https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/2/001 DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/2/001

W. I. Fushchych, R. Z. Zhdanov, Symmetry and exact solutions of nonlinear spinor equations, Phys. Rep., 172, 123 – 174 (1989); https://doi.org/10.1016/0370-1573(89)90090-2 DOI: https://doi.org/10.1016/0370-1573(89)90090-2

P. Clarkson, M. D. Kruskal, New similarity reductions of the Boussinesq equation, J. Math. Phys., 30, 2201 – 2213 (1989); https://doi.org/10.1063/1.528613 DOI: https://doi.org/10.1063/1.528613

D. Levi, P. Winternitz, Non-classical symmetry reduction: example of the Boussinesq equation, J. Phys. A, 22, 2915 – 2924 (1989); https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/15/010 DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/15/010

W. I. Fushchych, W. M. Shtelen, N. I. Serov, Symmetry analysis and exact solutions of nonlinear equations of mathematical physics [in Russian], Naukova Dumka, Kyiv (1989).

B. Abraham-Shrauner, A. Guo, Hidden symmetries associated with the projective group of nonlinear first-order ordinary differential equations, J. Phys. A, 25, № 21, 5597 – 5608 (1992); https://doi.org/10.1088/0305-4470/25/21/018 DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/25/21/018

B. Abraham-Shrauner, Hidden symmetries and nonlocal group generators for ordinary differential equations, IMA J. Appl. Math., 56, 235 – 252 (1996); https://doi.org/10.1093/imamat/56.3.235 DOI: https://doi.org/10.1093/imamat/56.3.235

I. A. Yehorchenko, Group classification with respect to hidden symmetry, Proc. Fifth Int. Conf. “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (23 – 29 June, 2003, Kyiv), Proc. Inst. Mat. NAS Ukraine, 50, Pt 1, 290 – 297 (2004).

P. Basarab-Horwath, L. F. Barannyk, W. I. Fushchych, New solutions of the wave equation by reduction to the heat equation, J. Phys. A, 28, № 18, 5291 – 5304 (1995); https://doi.org/10.1088/0305-4470/28/18/018 DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/28/18/018

B. Abraham-Shrauner, Type II hidden symmetries of some partial differential equations, 1005th AMS Meeting, Newark, Delaware, 22 – 37 (2005).

M. L. Gandarias, Type-II hidden symmetries through weak symmetries for nonlinear partial differential equations, J. Math. Anal. and Appl., 348, 752 – 759 (2008); https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.07.067 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.07.067

L. V. Ovsyannikov, Program SUBMODELS. Gas dynamics, J. Appl. Math. and Mech., 58, № 4, 30 – 55 (1994); https://doi.org/10.1016/0021-8928(94)90137-6 DOI: https://doi.org/10.1016/0021-8928(94)90137-6

L. V. Ovsyannikov, Group analysis of differential equations, Acad. Press, New York (1982).

P. J. Olver, Application of Lie groups to differential equations, Springer-Verlag, New York (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0274-2

I. A. Yehorchenko, Differential invariants and hidden symmetry; ArXiv preprint arXiv:1010.5313 (2010).

N. I. Bujela, An overview of hidden symmetries, Doct. diss., Univ. Kwazulu-Natal, South Africa (2012).

R. Z. Zhdanov, I. M. Tsyfra, R. O. Popovych, A precise definition of reduction of partial differential equations, J. Math. Anal. and Appl., 238, № 1, 101 – 123 (1999); https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6511 DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6511

R. O. Popovych, N. M. Ivanova, New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations, J. Phys. A, 37, 7547 – 7565 (2004); https://doi.org/10.1088/0305-4470/37/30/011 DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/37/30/011

I. A. Yehorchenko, Differential invariants and construction of conditionally invariant equations, Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics, Proc. Fourth Int. Conf. “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (9 – 15 July, 2001, Kyiv), Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 43, Pt 1, 256 – 262 (2002).

S. Lie, Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linear partieller Differentialgleichung ¨ , Arch. Math., 6, № 3, 328 – 368 (1881) (Transl. by N. H. Ibragimov: S. Lie, On integration of a class of linear partial differential equations by means of definite integrals, CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, 2, 473 – 508 (1994)).

B. Abraham-Shrauner, K. S. Govinder, On the origins of symmetries of partial differential equations:

the example of the Korteweg – de Vries equation, J. Nonlinear Math. Phys., 15, Suppl. 1, 60 – 68 (2008); https://doi.org/10.2991/jnmp.2008.15.s1.5 DOI: https://doi.org/10.2991/jnmp.2008.15.s1.5

I. A. Yehorchenko, A. I. Vorobyova, Sets of conditional symmetry operators and exact solutions for wave and generalised heat equations, Proc. Fifth Int. Conf. “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (23 – 29 June, 2003, Kyiv), Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 50, Pt 1, 298 – 303 (2004).

I. G. Lisle, Equivalence transformations for classes of differential equations, Thesis, Univ. British Columbia (1992); http://www.ise.canberra.edu.au/mathstat/StaffPages/LisleDissertation.pdf

I. G. Lisle, G. J. Reid, Symmetry classification using noncommutative invariant differential operators, Found. Comput. Math., 6, 353 – 386 (2006); https://doi.org/10.1007/s10208-005-0186-x DOI: https://doi.org/10.1007/s10208-005-0186-x

B. Abraham-Shrauner, K. S. Govinder, Master partial differential equations for a type II hidden symmetry, J. Math. Anal. and Appl., 343, № 1, 525 – 530 (2008); https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.01.074 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.01.074

V. I. Lahno, R. Z. Zhdanov, O. V. Magda, Group classification and exact solutions of nonlinear wave equations, Acta Appl. Math., 251, 253 – 313 (2006); https://doi.org/10.1007/s10440-006-9039-0 DOI: https://doi.org/10.1007/s10440-006-9039-0

I. A. Yehorchenko, Conditional symmetry and reductions for the two-dimensional nonlinear wave equation, I. General case; arXiv:1010.4913 (2010).

B. Abraham-Shrauner, K. S. Govinder, D. J. Arrigo, Type-II hidden symmetries of the linear 2D and 3D wave equations, J. Phys. A, 39, 5739—5747 (2006); https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/20/008 DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/20/008

W. I. Fushchych, I. A. Yehorchenko, Second-order differential invariants of the rotation group $O(n)$ and of its extension $E(n), P(l, n)$, Acta Appl. Math., 28, 69 – 92 (1992);

Y. Y. Lazur, V. M. Dobosh, V. V. Rubish, S. Chalupka, M. Salak, Hidden symmetry and separation of variables in the two-centre problem with a confinement-type potential, Acta Phys. Slovaca, 52, № 2, 41 – 54 (2002).

J. F. Giron, S. D. Ramsey, B. A. Temple, Conditions for translation and scaling invariance of the neutron diffusion equation, Progr. Nucl. Energy, 110, 333 – 340 (2019); https://doi.org/10.1016/j.pnucene.2018.10.005 DOI: https://doi.org/10.1016/j.pnucene.2018.10.005

I. M. Tsyfra, T. Czyzycki, ˙ Symmetry and solution of neutron transport equations in nonhomogeneous media, Abstr. and Appl. Anal., 2014, Article ID 724238 (2014), 9 p.; https://doi.org/10.1155/2014/724238 DOI: https://doi.org/10.1155/2014/724238

W. I. Fushchych, Z. I. Symenoh, I. M. Tsyfra, Symmetry of the Schrodinger equation with variable potential, J. Nonlinear Math. Phys., 5, 13 – 22 (1998); https://doi.org/10.2991/jnmp.1998.5.1.3 DOI: https://doi.org/10.2991/jnmp.1998.5.1.3

A. Paliathanasis, M. Tsamparlis, The reduction of the Laplace equation in certain Riemannian spaces and the resulting Type II hidden symmetries, J. Geom. Phys., 76, 107 – 123 (2014); https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.10.016 DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.10.016

M. Tsamparlis, A. Paliathanasis, Type II hidden symmetries for the homogeneous heat equation in some general classes of Riemannian spaces, J. Geom. Phys., 73, 209 – 221 (2013); https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.06.008 DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.06.008

G. Cicogna, Symmetry classification of quasi-linear PDE’s containing arbitrary functions, Nonlinear Dynam., 51, 309 – 316 (2008); https://doi.org/10.1007/s11071-007-9212-7 DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-007-9212-7

G. Cicogna, F. Ceccherini, F. Pegoraro, Applications of symmetry methods to the theory of plasma physics, SIGMA, 2, Paper 017 (2006), 17 p.; https://doi.org/10.3842/SIGMA.2006.017 DOI: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2006.017