Bernstein inequality for multivariate functions with smooth Fourier images

Анотація

УДК 517.5

Нерівність Бернштейна для функцій багатьох змінних з гладкими зображеннями Фур’є 

Нехай $K$ – компактна множина в ${\Bbb R}^n$, що має $(O)$-властивість і $1\leq p\leq \infty$.  Тоді існує стала $C_K< \infty $, незалежна від $f$ та  $\alpha$, така, що $$ \|D^{\alpha } f \|_p \leq C_K \sup\limits_{\xi \in K } |\xi ^{\alpha} |\, \|f\|_{\mathcal{H}_{p,K,3}}$$ для всіх $\alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ і $f\in \mathcal{H}_{p,K,3},$ де $\mathcal{H}_{p,K,3}=\big\{f \in L^p({\Bbb R}^n)\colon {\rm supp\,} \widehat f \subset K ,D^{(3,3,\ldots ,3)} \widehat{f} \in C({\Bbb R}^n) \big\},$ $\|f\|_{\mathcal{H}_{p,K,3}}  = \big\| D^{(3,3,\ldots,3)} \widehat{f}\,\big\|_\infty$ і $\widehat{f}$ є перетворенням Фур'є $f$.  Зауважимо, що $K$ має $(O)$-властивість, якщо існує стала $C>0$ така, що $$\sup\limits_{{\bf x} \in K} |{\bf x}^{\alpha + e_j} | \geq C\sup\limits_{{\bf x} \in  K } |{\bf x}^{\alpha} |$$ для всіх $\alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ і $j=1,2, \ldots ,n$.