Апроксимативні властивості розв’язків багатоточкових крайових задач

О. О. Мурач; О. Б. Пелехата; В. О. Солдатов

doi:10.37863/umzh.v73i3.6505

О. О. Мурач Ін-т математики НАН України, Київ
О. Б. Пелехата Нац. техн. ун-т України "КПІ ім. І. Сікорського", Київ
В. О. Солдатов Ін-т математики НАН України, Київ https://orcid.org/0000-0001-7496-5524

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i3.6505

Анотація

УДК 517.927

Розглянуто широкий клас лінійних крайових задач для систем $m$ звичайних диференціальних рівнянь порядку $r$ — так звані загальні крайові задачі.
Їхні розв'язки $y\colon[a,b]\to\mathbb{C}^{m}$ належать до простору Соболєва $(W_1^{r})^m,$ а крайові умови задаються у вигляді $By=q,$ де
$B\colon\big(C^{(r-1)}\big)^{m}\to\mathbb{C}^{rm}$ — довільний неперервний лінійний оператор.
Доведено, що розв'язок такої задачі можна з довільною точністю апроксимувати в $\big(W_1^{r}\big)^m$ розв'язками багатоточкових крайових задач із тими ж правими частинами.
Ці багатоточкові задачі будуються явно та не залежать від правих частин загальної крайової задачі.
Для цих задач отримано оцінки похибки розв'язків у нормованих просторах $\big(W_1^{r}\big)^m$ і $\big(C^{(r-1)}\big)^{m}.$

Посилання

I. T. Kiguradze, Nekotory`e singulyarny`e kraevy`e zadachi dlya oby`knovenny`kh differenczial`ny`kh uravnenij, Izd-vo Tbil. un-ta, Tbilisi (1975).

I. T. Kiguradze, Boundary-value problems for systems of ordinary differential equations, J. Soviet Math., 43, 2259 – 2339 (1988). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01100360

I. T. Kiguradze, On boundary-value problems for linear differential systems with singularities, Different. Equat., 39, № 2, 212 – 225 (2003).

M. Ashordia, Criteria of correctness of linear boundary value problems for systems of generalized ordinary differential equations, Czechoslovak Math. J., 46, № 3, 385 – 404 (1996).

V. A. Mikhajlecz, N. V. Reva, Obobshheniya teoremy` Kiguradze o korrektnosti linejny`kh kraevy`kh zadach, Dop. NAN Ukrayini, № 9, 23 – 27 (2008).

T. I. Kodlyuk (Kodliuk), V. A. Mikhailets, N. V. Reva, Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems, Ukr. Math. J., 65, № 1, 77 – 90 (2013), https://doi.org/10.1007/s11253-013-0766-x DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-013-0766-x

V. A. Mikhailets, G. A. Chekhanova, Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems, J. Math. Sci. (N. Y.), 204, № 3, 333 – 342 (2015), https://doi.org/10.1007/s10958-014-2205-4 DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-014-2205-4

V. A. Mikhailets, O. B. Pelekhata, N. V. Reva, Limit theorems for the solutions of boundary-value problems, Ukr. Math. J. 70, № 2, 243 – 251 (2018), https://doi.org/10.1007/s11253-018-1498-8 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-018-1498-8

O. B. Pelekhata , N. V. Reva, Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems for systems of differential equations, Ukr. Math. J., 71, № 7, 1061 – 1070 (2019).

V. A. Mikhajlecz, N. V. Reva, Predel`ny`j perekhod v sistemakh linejny`kh differenczial`ny`kh uravnenij, Dop. NAN Ukrayini, № 8, 28 – 30 (2008).

T. I. Kodliuk, V. A. Mikhailets, Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces, J. Math. Sci. (N. Y.), 190, № 4, 589 – 599 (2013), https://doi.org/10.1007/s10958-013-1272-2 DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-013-1272-2

E. V. Gnyp, T. I. Kodlyuk (Kodliuk), V. A. Mikhailets, Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces, Ukr. Math. J., 67, № 5, 658 – 667 (2015), https://doi.org/10.1007/s11253-015-1105-1 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-015-1105-1

V. O. Soldatov, On the continuity in a parameter for the solutions of boundary-value problems total with respect to the spaces C(n+r)[a, b], Ukr. Math. J., 67, № 5, 785 – 794 (2015), https://doi.org/10.1007/s11253-015-1114-0 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-015-1114-0

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, V. Soldatov, Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value problems, Electron. J. Qual. Theory Different. Equat., № 87, 1 – 16 (2016), https://doi.org/10.14232/ejqtde.2016.1.87 DOI: https://doi.org/10.14232/ejqtde.2016.1.87

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, V. Soldatov, A criterion for continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value problems for higher-order differential systems, Methods Funct. Anal. and Topology, 22, № 4, 375 – 386 (2016).

E. V. Gnip (Gnyp), Continuity with respect to the parameter of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Slobodetskii spaces, Ukr. Math. J., 68, № 6, 849 – 861 (2016), https://doi.org/10.1007/s11253-016-1261-y DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1261-y

E. Hnyp (Gnyp), V. Mikhailets, A. Murach, Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in Sobolev spaces, Electron. J. Different. Equat., № 81, 1 – 13 (2017).

H. Masliuk, O. Pelekhata, V. Soldatov, Approximation properties of multipoint boundary-value problems, Methods Funct. Anal. and Topology, 26, № 2, 119 – 125 (2020).

N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators. Pt I. General theory, Intersci., New York (1958).

M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis, Academic Press, New York (1980).

F. Riesz, B. Sz-Nagy, Functional analysis, Dover Publ. Inc., New York (1990).