Дескриптивна теорія детермінованого хаосу

О. М.  Шарковський

doi:10.37863/umzh.v74i12.6515

О. М. Шарковський Ін-т математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i12.6515

Ключові слова: Дескриптивна (тобто описова) теорiя множин

Анотація

УДК 519.14

Дескриптивна (тобто описова) теорiя множин --- класичний роздiл математики, який виник на початку минулого століття. У цій статті запропоновано основи дескриптивної теорiї хаосу. Показано, що динамiчна система, якщо топологiчна ентропiя додатна:

1) має дуже багато рiзних атракторів траєкторiй, а саме, континуум атракторів;

2) басейни бiльшостi атракторів мають надскладну будову, а саме, є множинами 3-го класу за термiнологiєю дескриптивної теорiї множин;

3) басейни рiзних атракторів дуже сильно переплiтаються, i їх неможливо вiдокремити один вiд одного нiякими вiдкритими чи замкненими множинами, а можна лише множинами 2-го класу складностi

та

4) множина всiх атракторів динамiчної системи утворює в просторi замкнених множин простору станiв (з метрикою Гаусдорфа) атракторну сiтку (мережу), комiрки якої створюються канторовими множинами з самих атракторів.

Посилання

S. Ruette, Chaos on the interval, Amer. Math.Soc., Ser. Univ. Lect., 67 (2017).

А. Н. Шарковский, О притягивающих и притягивающихся множествах, Докл. АН СССР, 160, № 5, 1036–1038 (1965) (переклад: Soviet Math. Dokl., 6, 268–270 (1965)).

А. Н. Шарковский, Об одной классификации неподвижных точек, Укр. мат. журн., 17, № 5, 80–95 (1965) (переклад: Amer. Math. Soc. Transl. (2), 97, 159–179 (1970)).

А. Н. Шарковский, Поведение отображения в окрестности притягивающего множества, Укр. мат. журн., 18, № 2, 60–83 (1966) (переклад: Amer. Math. Soc. Transl. (2), 97, 227–258 (1970)).

T.-Y. Li, J.A. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly, 82, № 10, 985–992 (1975).

P. Kloeden, M. Deakin, A. Tirkel, A precise definition of chaos, Nature, 264 (1976), p. 295.

A. N. Sharkovsky, Coexistence of the cycles of a continuous map of the line into itself, Ukr. Math. J., 16, № 1, 61–71 (1964); Intern. J. Bifurcation and Chaos, 5, № 5, 1263–1273 (1995); Reprint of the paper in World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. B, 8, Thirty years after Sharkovskii's theorem: new perspectives (Murcia, 1994), 1–11 (1995).

А. Н. Шарковский, Строение эндоморфизма на $omega$-предельном множестве, Intern. Math. Congress (Moscow, 1966), секц. 6, тез., с. 51.

A. N. Shakovsky, How complicated can be one-dimensional dynamical systems: ~descriptive estimates of sets, Dynamical Systems and Ergodic Theory (Warsaw, 1986), Banach Center Publ., 23, Warsaw, 447–453 (1989).

А. Г. Сивак, Дескриптивные оценки для статистически предельных множеств динамических систем, Динамические системы и турбулентность, Ин-т математики НАН Украины, Киев (1989), с. 100–102.

А. Г. Сивак, О структуре множества траекторий, порождающих инвариантную меру, Динамические системы и нелинейные явления, Ин-т математики НАН Украины, Киев (1990), с. 39–43.

А. Г. Сивак, $sigma$-Аттракторы траекторий и их бассейны, Добавление, гл. 7, в [14], с. 281–310.

A. N. Sharkovsky, A. G. Sivak, Basins of attractors of trajectories, J. Difference Equat. and Appl., 22, № 2, 159–163 (2016).

А. Н. Шарковский, Аттракторы траекторий и их бассейны, Наук. думка, Киев (2013).

R. Baire, Sur la representation des fonctions discontinues, ~Acta Math., 30, (1905).

Л. В. Келдыш, Структура $B$-множеств, Тр. Мат. ин-та им. Стеклова, 17, (1945).

А. Н. Шарковский, Частично упорядоченная система притягивающих множеств, Докл. АН СССР, 170, № 6, 1276–1278 (1966) (переклад: Soviet Math. Dokl., 7, 1384–1386 (1966)).

A. M. Blokh, A. M. Bruckner, P. D. Humke, J. Smital, Space of $omega$-limit sets of a continuous map of the interval, Trans. Amer. Math. Soc., 348, № 4, 1357–1372 (1996).

В. С. Бондарчук, Инвариантные множества гладких динамических систем, Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Киев (1974).

В. С. Бондарчук, А. Н. Шарковский, Восстанавливаемость расширяющих эндоморфизмов по системе $omega$-предельных множеств, Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений, Ин-т математики АН УССР, Киев (1973), с. 28–34.

А. Н. Шарковский, В. С. Бондарчук, Частично упорядоченная система $omega$-предельных множеств растягивающих эндоморфизмов, Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений, Ин-т математики АН УССР, Киев (1973), с. 128–164.