Нелокальна задача з імпульсною дією для параболічних рівнянь  векторного порядку

Г. М.  Унгурян

doi:10.37863/umzh.v73i11.6521

Г. М. Унгурян Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i11.6521

Ключові слова: Нелокальна за часом задача, параболічні рівняння, коректна розв'язність, імпульсна дія, простори Гельфанда і Шилова.

Анотація

УДК 517.956.4

Для $\{\overrightarrow{p};\overrightarrow{h}\}$-параболічних рівнянь з неперервними коефіцієнтами розглядається задача про знаходження класичних розв'язків, які задовольняють модифіковану початкову умову з узагальненими даними типу розподілів Гельфанда і Шилова. Ця умова лінійно поєднує в собі значення розв'язку в початковий та деякий проміжний моменти часу. З'ясовано умови коректної розв'язності цієї задачі та знайдено формулу її розв'язку. З допомогою одержаних результатів розв'язано відповідну задачу з імпульсною дією.

Посилання

S. M. Alekseeva, N. I. Yurchuk, Metod kvaziobrashheniya dlya zadachi upravleniya nachal`ny`m usloviem dlya uravneniya teploprovodnosti s integral`ny`m kraevy`m usloviem, Differencz. uravneniya, 34, № 4, 495 – 502 (1998).

I. A. Belavin, S. P. Kapicza, S. P. Kurdyumov, Matematicheskaya model` global`ny`kh demograficheskikh proczessov s uchetom prostranstvennogo raspredeleniya, Zhurn. vy`chisl. matematiki i mat. fiziki, 38, № 6, 885 – 902 (1998).

I. M. Gel`fand, G. E. Shilov, Nekotory`e voprosy` teorii differenczial`ny`kh uravnenij, Fizmatgiz, Moskva (1958).

I. M. Gel`fand, G. E. Shilov, Prostranstva osnovny`kh i obobshhenny`kh funkczij, Fizmatgiz, Moskva (1958).

V. V. Gorodeczkij, Zadacha Koshi dlya parabolicheskikh po Shilovu uravnenij v klassakh obobshhenny`kh periodicheskikh funkczij, Izv. vuzov. Matematika, № 5, 82 – 84 (1988).

V. V. Gorodeczkij, O lokalizaczii reshenij zadachi Koshi dlya $rightarrow 2b$-parabolicheskikh sistem v klassakh obobshhenny`kh funkczij, Differencz. uravneniya, 24, № 2, 348 – 350 (1988).

V. V. Gorodeczkij, Nekotory`e teoremy` o stabilizaczii reshenij zadachi Koshi dlya parabolicheskikh po Shilovu sistem v klassakh obobshhenny`kh funkczij, Ukr. mat. zhurn., 40, № 1, 43 – 48 (1988).

V. V. Gorodecz`kij, R. I. Kolisnik, O. V. Martinyuk, Nelokal`na zadacha dlya rivnyan` z chastinnimi pokhidnimi parabolchnogo tipu, Bukov. mat. zhurn., 8, № 2, 24 – 39 (2020); https://doi.org/10.31861/bmj2020.02.03. DOI: https://doi.org/10.31861/bmj2020.02.03

S. D. E`jdel`man, Parabolicheskie sistemy`, Nauka, Moskva (1964).

S. D. E`jdel`man, S. D. Ivasishen, F. O. Porper, Teoremy` Liuvillya dlya parabolicheskikh v smy`sle Shilova sistem, Izv. vuzov. Matematika, № 6, 169 – 179 (1961).

Ya. I. Zhitomirskij, Zadacha Koshi dlya nekotory`kh tipov parabolicheskikh po G. E. Shilovu sistem linejny`kh uravnenij v chastny`kh proizvodny`kh s neprery`vny`mi koe`fficzientami, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 23, 925 – 932 (1959).

N. I. Ivanchov, Boundary value problems for a parabolic equation with integral conditions, Diff. Equat., 40, 591 – 609 (2004); https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000035796.56467.44 DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000035796.56467.44

L. I. Korbut, M. I. Matijchuk, Pro zobrazhennya rozv'yazkiv nelokal`nikh krajovikh zadach dlya parabolichnikh, Ukr. mat. zhurn., 46, № 7, 947 – 951 (1994).

V. Litovchenko, The Cauchy problem for parabolic equations by Shilov, Siber. Mat. Zh., 45, № 4, 809 – 821 (2004); https://doi.org/10.1023/B:SIMJ.0000035831.63036.bb DOI: https://doi.org/10.1023/B:SIMJ.0000035831.63036.bb

V. Litovchenko, Cauchy problem for { rightarrow p ; rightarrow h} -parabolic equations with time-dependent coefficients, Math. Notes., 77, № 3-4, 364 – 379 (2005); https://doi.org/10.1007/s11006-005-0036-9 DOI: https://doi.org/10.1007/s11006-005-0036-9

V. A. Litovchenko, One method for the investigation of fundamental solution of the cauchy problem for parabolic systems, Ukr. Math. J., 70, 922 – 934 (2018); https://doi.org/10.1007/s11253-018-1542-8 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-018-1542-8

V. A. Litovchenko, Fundamental solution of the Cauchy problem for ${ rightarrow p ;

rightarrow h}$ -parabolic systems with variable coefficients, J. Math. Sci., 243, № 2, 230 – 239 (2019); https://doi.org/10.1007/s10958-019-04537-x DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-019-04537-x

V. A. Litovchenko, I. M. Dovzhitska, The fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem for a class of parabolic systems of the Shilov type with variable coefficients, J. Math. Sci., 175, № 4, 450 – 476 (2011); https://doi.org/10.1007/s10958-011-0356-0 DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-011-0356-0

V. Litovchenko, I. Dovzhytska, Cauchy problem for a class of parabolic systems of Shilov type with variable coefficients, Cent. Eur. J. Math., 10, № 3, 1084 – 1102 (2012); https://doi.org/10.2478/s11533-012-0025-7 DOI: https://doi.org/10.2478/s11533-012-0025-7

V. A. Litovchenko, I. M. Dovzhytska, Stabilization of solutions to Shilov-type parabolic systems with nonnegative genus, Sib. Mat. J., 55, № 2, 276 – 283 (2014); https://doi.org/10.1134/S0037446614020104 DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446614020104

V. A. Litovchenko, G. M. Unguryan, Conjugate cauchy problem for parabolic shilov type systems with nonnegative genus, Different. Equat., 54, 335 – 351 (2018); https://doi.org/10.1134/S0012266118030060 DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118030060

V. Litovchenko, G. Unguryan, Some properties of Green’s functions of Shilov-type parabolic systems, Miskolc Math. Notes., 20, № 1, 365 – 379 (2019); https://doi.org/10.18514/MMN.2019.2089 DOI: https://doi.org/10.18514/MMN.2019.2089

L. P. Luo, Y. Q. Wang, Z. G. Gong, New criteria for oscillation of vector parabolic equations with the influence of impulse and delay, Acta Sci. Natur. Univ. Sunyatseni, 51, № 2, 45 – 48 (2012).

O. V. Martyniuk, Zadacha Koshi ta nelokalni bahatotochkovi zadachi dlia evoliutsiinykh rivnian pershoho poriadku za chasovoiu zminnoiu: dys. ... d-ra fyz.-mat. nauk, (2017).

M. I. Matiichuk, V. M. Luchko, Zadacha Koshi dlia parabolichnykh system z impulsnoiu diieiu, Ukr. mat. zhurn., 58, № 11, 1525 – 1535 (2006); https://doi.org/10.1007/s11253-006-0165-7 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-006-0165-7

A. M. Nakhushev, Uravneniya matematicheskoj biologii, Vy`ssh., shk., Moskva (1995).

I. G. Petrovskij, O probleme Koshi dlya sistem uravnenij s chastny`mi proizvodny`mi v oblasti neanaliticheskikh funkczij, Byull. MGU. Matematika i mekhanika, 1, № 7, 1 – 72 (1938).

I. D. Pukal’skii, B. O. Yashan, The Cauchy problem for parabolic equations with degeneration, Adv. Math. Phys., 2020, Article ID 1245143 (2020), 7 p.; https://doi.org/10.1155/2020/1245143 DOI: https://doi.org/10.1155/2020/1245143

A. M. Samoilenko, M. A. Perestiuk, Dyfferentsyalnie uravnenia s impulsnym vozdeistviem, Vyshcha shk., Kyev (1987).

J. Cannon, Ivan der Hoek, Diffusion subject to the specification of mass, J. Math. Anal. and Appl., 115, №2, 517 – 529 (1986), https://doi.org/10.1016/0022-247X(86)90012-0 DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(86)90012-0

J. Chabrowski, On the non-local problems with a functional for parabolic equation, Funkcial. Ekvac., 27, 101 – 123 (1984).

V. E. Slyusarchuk, Obshhie teoremy` o sushhestvovanii i edinstvennosti reshenij differenczial`ny`kh uravnenij s impul`sny`m vozdejstviem, Ukr. mat. zhurn., 52, № 7, 954 – 964 (2000).

A. Fridman, Uravneniya s chastny`mi proizvodny`mi parabolicheskogo tipa, Mir, Moskva (1968).

V. V. Shelukhin, Nelokal`naya po vremeni zadacha dlya uravnenij dinamiki barotropnogo okeana, Sib. mat. zhurn., 36, № 3, 701 – 724 (1995).

G. E. Shilov, Ob usloviyakh korrektnosti zadachi Koshi dlya sistem differenczial`ny`kh uravnenij v chastny`kh proizvodny`kh s postoyanny`mi koe`fficzientami, Uspekhi mat. nauk., 10, № 4, 89 – 101 (1955).