Про ряди за ортогональними многочленами та системи многочленів класичного типу

С. М. Загороднюк

doi:10.37863/umzh.v73i6.6527

С. М. Загороднюк Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна https://orcid.org/0000-0002-1063-1776

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i6.6527

Ключові слова: соболевські ортогональні многочлени, поліноміальне ядро, дифференціальні рівняння

Анотація

УДК 517.587

Якщо $\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^\infty c_k g_k(x)$ --- формальний ряд за ортонормованими многочленами $g_k(x)$
на дійсній осі з додатними коефіцієнтами $c_k,$ то
відповідні часткові суми $u_n(x)$ будуть асоційованими зі жмутками якобієвого типу.
Отже, вони мають рекурентне співвідношення та спеціальні співвідношення ортонормальності.
Випадки, коли $g_k(x)$ є многочленами Якобі або Лагерра, мають додатковий інтерес.
Придатний підбір параметрів $c_k$ забезпечує те, що $u_n(x)$ будуть соболевськими ортогональними многочленами
з $(3\times 3)$ матричною мірою.
Більше того, подальший відбір параметрів забезпечує диференціальні рівняння для $u_n.$
В останньому випадку многочлени $u_n(x)$ є розв'язками узагальнених задач на власні значення відносно $x$ та $n.$

Посилання

N. I. Akhiezer, The classical moment problem and some related questions in analysis, Hafner Publ. Co., New York (1965).

A. Erd´elyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, Vols. I, II, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York etc. (1953).

T. S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Math. and its Appl., Vol. 13, Gordon and Breach Sci. Publ., New York etc. (1978).

A. E. Choque Rivero, S. M. Zagorodnyuk, Orthogonal polynomials on rays: Christoffel’s formula, Bol. Soc. Mat. Mex., 15, № 3, 149 – 164 (2009).

R. S. Costas-Santos, J. J. Moreno-Balc´azar, The semiclassical Sobolev orthogonal polynomials: a general approach, J. Approx. Theory, 163, № 1, 65 – 83 (2011), https://doi.org/10.1016/j.jat.2010.03.001 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2010.03.001

A. J. Dur´an, W. Van Assche, Orthogonal matrix polynomials and higher-order recurrence relations, Linear Algebra and Appl., 219, 261 – 280 (1995), https://doi.org/10.1016/0024-3795(93)00218-O DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(93)00218-O

W. D. Evans, L. L. Littlejohn, F. Marcell´an, C. Markett, A. Ronveaux, On recurrence relations for Sobolev orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal., 26, № 2, 446 – 467 (1995), https://doi.org/10.1137/S0036141092226922 DOI: https://doi.org/10.1137/S0036141092226922

G. Freud, Orthogonal polynomials, Pergamon Press, Oxford etc. (1971).

M. E. H. Ismail, Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Encyclopedia Math. and Appl., 98, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2005), https://doi.org/10.1017/CBO9781107325982 DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781107325982

J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, On differential equations for Sobolev-type Laguerre polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 350, № 1, 347 – 393 (1998), https://doi.org/10.1090/S0002-9947-98-01993-X DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-98-01993-X

R. Koekoek, H. G. Meijer, A generalization of Laguerre polynomials, SIAM J. Math. Anal., 24, № 3, 768 – 782 (1993), https://doi.org/10.1137/0524047 DOI: https://doi.org/10.1137/0524047

L. L. Littlejohn, J. F. Ma˜nas-Ma˜nas, J. J. Moreno-Balc´azar, R. Wellman, Differential operator for discrete

Gegenbauer – Sobolev orthogonal polynomials: eigenvalues and asymptotics, J. Approx. Theory, 230, 32 – 49 (2018), https://doi.org/10.1016/j.jat.2018.04.008 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2018.04.008

F. Marcell´an, Y. Xu, On Sobolev orthogonal polynomials, Expo. Math., 33, № 3, 308 – 352 (2015), https://doi.org/10.1016/j.exmath.2014.10.002 DOI: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2014.10.002

G. V. Milovanovi´c, Orthogonal polynomials on the radial rays in the complex plane and applications, Proc. Fourth Intern. Conf. Funct. Anal. and Approx. Theory, vol. I (Potenza, 2000), Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl., № 68, part I, 65 – 94 (2002).

P. G. Nevai, Orthogonal polynomials, Mem. Amer. Math. Soc., 18, № 213 (1979), https://doi.org/10.1090/memo/0213 DOI: https://doi.org/10.1090/memo/0213

P. K. Suetin, Klassicheskie ortogonalnye mnogochleny, 3-е Izdat. ``Nauka'', Moscow (2005).

G. Szeg¨o, Orthogonal polynomials, fourth ed., Colloq. Publ., 23, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1975).

S. M. Zagorodnyuk, Ortogonal`ny`e mnogochleny`, assocziirovanny`e s nekotory`mi puchkami yakobievogo tipa, Ukr. mat. zhurn., 68, № 9, 1180 – 1190 (2016).

S. M. Zagorodnyuk, The inverse spectral problem for Jacobi-type pencils, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods and Appl., 13, Paper 085 (2017), 16 p., https://doi.org/10.3842/SIGMA.2017.085 DOI: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2017.085

S. M. Zagorodnyuk, Difference equations related to Jacobi-type pencils, J. Difference Equat. and Appl., 24, № 10, 1664 – 1684 (2018), https://doi.org/10.1080/10236198.2018.1515929 DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2018.1515929

S. M. Zagorodnyuk, On some classical type Sobolev orthogonal polynomials, J. Approx. Theory, 250, Article 105337 (2020), https://doi.org/10.1016/j.jat.2019.105337 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2019.105337

S. M. Zagorodnyuk, On some Sobolev spaces with matrix weights and classical type Sobolev orthogonal polynomials, J. Difference Equat. and Appl., 27, № 2, 261 – 283 (2021), https://doi.org/10.1080/10236198.2021.1887160 DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2021.1887160

A. Zhedanov, Biorthogonal rational functions and the generalized eigenvalue problem, J. Approx. Theory, 101, № 2, 303 – 329 (1999), https://doi.org/10.1006/jath.1999.3339 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.1999.3339