Точні розв'язки з узагальненим відокремленням змінних рівняння нелінійної теплопровідності

А. Ф.  Баранник; Т. А.  Баранник; І. І. Юрик

doi:10.37863/umzh.v74i3.6667

А. Ф. Баранник Поморська академiя, Слупськ, Польща
Т. А. Баранник Полтав. нац. пед. ун-т, Україна
І. І. Юрик Нац. ун-т харч. технологiй, Україна

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i3.6667

Ключові слова: нелінійне рівняння теплопровідності, узагальненне відокремлення змінних, точні розв'язки

Анотація

УДК 517.9

Запропоновано метод побудови точних розв'язків рівняння нелінійної теплопровідності, який базується на класичному методі відокремлення змінних та його узагальненні і методі редукції. Розглянуто підстановки, що редукують рівняння нелінійної теплопровідності до звичайних диференціальних рівнянь та побудовано класи точних розв'язків з узагальненим відокремленням змінних даного рівняння.

Посилання

L. V. Ovsyanny`kov, Gruppovye svojstva uravneniy nelineynoy teploprovodnosti, Dokl. AN SSSR, 125, № 3, 492 – 495 (1959).

A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, Handbook of nonlinear partial differential equations, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL (2012).

Ya. B. Zel'dovich, A. S. Kompaneec, K teorii rasprostraneniya tepla pri teploprovodnosti, zavisyashchej ot temperatury, Sbornik, posv. 70-letiyu A. F. Joffe, Moskva, Izv. AN SSSR, 61 – 71 (1950).

G. I. Barenblat, O nekotoryh neustanovivshihsya dvizheniyah zhidkosti i gaza v poristoj srede, Prikl. matematika i mekhanika,16, № 1, 67 – 78 (1952).

A. A. Samarskij, V. A. Galaktionov, S. P. Kurdyumov, A. P. Mihajlov, Rezhimy s obostreniem v zadachah dlya kvazilinejnyh parabolicheskih uravnenij, Nauka, Moskva (1987).

G. A. Rudyh, E. I. Semenov, O novyh tochnyh resheniyah odnomernogo uravneniya nelinejnoj diffuzii s istochnikom (stokom), ZHurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki, 38, № 6, 971 – 977 (1998).

D. Zwillinger, Handbook of differential equations, Academic Press, San Diego, Boston (1989).

S. N. Aristov, Periodicheskie i lokalizovannye tochnye resheniya uravneniya $h_t = Δ ln h$, Prikl. mekhanika i tekh. fizika, 40, № 1, 22 – 26 (1999).

G. W. Bluman, S. Kumei, On the remarkable nonlinear diffusion equation $[a (u + b)^{-2} u_x]_x - u_t) = 0$, J. Math. Phys., 21, № 5, 1019 – 1023 (1980), https://doi.org/10.1063/1.524550

N. H. Ibragimov, Gruppy preobrazovanij v matematicheskoj fizike, Nauka, Moskva (1983).

N. H. Ibragimov (ed.), CRC Handbook of the Lie group to differential equations, Vol. 1, Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws, Boca Raton, CRC Press (1994).

I. SH. Ahatov, R. K. Gazizov, N. H. Ibragimov, Nelokal'nye simmetrii. Evristicheskij podhod, Sovrem. probl. matematiki, 34, Moskva, Itogi nauki i tekhniki. VINITI AN SSSR, 3 – 83 (1989).

G. R. Philip, General method of exact solutions of the concentration-dependent diffusion equation, Australian J. Phys., 13, № 1, 13 – 20 (1960).

P. W. Doyle, P. Vassiliou, Separation of variables for the 1-dimensional nonlinear diffusion equation, Int. J. Non-linear Mech., 33, № 2, 315 – 326 (1998), https://doi.org/10.1016/S0020-7462(97)00013-9

A. D. Polyanin, A. I. Zhurov, Separation of variables in PDEs using nonlinear transformations: applications to reaction-diffusion type equations, Appl. Math. Lett., 100, 106055, 7 p. (2020), https://doi.org/10.1016/j.aml.2019.106055

A. D. Polyanin, Functional separable solutions of nonlinear convection-diffusion equations with variable coefficients, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 73, 379 – 390 (2019), https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.02.022

W. Fushchych, Ansatz’95, J. Nonlinear Math. Phys., 2, № 3-4, 216 – 235 (1995), https://doi.org/10.2991/jnmp.1995.2.3-4.2

R. Z. Zhdanov, V. I. Lahno, Conditional symmetry of a porous medium equation, Phys. D, 122, 178 – 186 (1998), https://doi.org/10.1016/S0167-2789(98)00191-2

M. Kunzinger, R. O. Popovych, Singular reduction operators in two dimensions, J. Phys. A, 41, no. 50, 505201, 24 pp. (2008); arXiv:0808.3577, https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/50/505201

V. M. Boyko, M. Kunzinger, R. O. Popovych, Singular reduction modules of differential equations, J. Math. Phys., 57, 101503, 34 pp. (2016), arXiv:1201.3223, https://doi.org/10.1063/1.4965227

A. F. Barannyk, T. A. Barannyk, I. I. Yuryk, Separation of variables for nonlinear equations of hyperbolic and Korteweg – de Vries type, Rep. Math. Phys., 68, № 1, 92 – 105 (2011), https://doi.org/10.1016/S0034-4877(11)60029-3

A. F. Barannyk, T. A. Barannyk, I. I. Yuryk, Generalized separation of variables for nonlinear equation $u_{tt} = F(u)u_{xx} + aF'(u)u^2_x$, Rep. Math. Phys., 71, № 1, 1 – 13 (2013), https://doi.org/10.1016/S0034-4877(13)60018-X

A. F. Barannyk, T. A. Barannyk, I. I. Yuryk, A Method for the construction of exact solutions to the nonlinear heat equation $u_t = (F(u)u_x)_x + G(u)u_x + H(u)$., Ukr. Math. J., 71, № 11, 1443 – 1454 (2019).

G. M. Fihtengol'c, Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischisleniya, t. II, Fizmatgiz, Moskva (1959).

A. G. Nikitin, T. A. Barannyk, Solitary wave and other solutions for nonlinear heat equations, Cent. Eur. J. Math., 2, № 5, 840 – 858 (2004), https://doi.org/10.2478/BF02475981

R. O. Popovych, O. O. Vaneeva, N. M. Ivanova, Potential nonclassical symmetries and solutions of fast diffusion equation, Phys. Lett. A, 362, 166 – 173 (2007); arXiv:math-ph/0506067, https://doi.org/10.1016/j.physleta.2006.10.015