Study of frozen Newton-like method in a Banach space with dynamics
Анотація
УДК 519.6
Вивчення методу Ньютона замороженого типу у банаховому просторi з динамiкою
Мета цiєї роботи — вивчення плюсiв та мiнусiв тришагового iтерацiйного методу Ньютона замороженого типу для розв’язання нелiнiйних рiвнянь в банаховому просторi. Зроблено аналiз локальної збiжностi за допомогою рядiв Тейлора та напiвлокальної збiжностi за допомогою рекурентних спiввiдношень за умов теореми Канторовича для методу Ньютона. Отриманi результати збiжностi перевiрено шляхом порiвняння запропонованого методу з методом Ньютона та методом Джарратта четвертого порядку з використанням деяких тестових функцiй. Обговорено вiдповiднi спряженi вiдображення для квадратичних полiномiв, а також додатковi нерухомi точки. Крiм того, отриманi теоретичнi та числовi результати перевiрено за допомогою методiв динамiчного аналiзу певної тестової функцiї.
Тим самим не тiльки пiдтверджено теоретичнi та числовi результати, але й виявлено деякi недолiки запропонованого методу Ньютона замороженого типу.
Посилання
S. Amat, S. Busquier, S. Plaza, Review of some iterative root-finding methods from a dynamical point of view, Sci. Ser. A, 10, 3 – 35 (2004).
I. K. Argyros, Convergence and applications of Newton-type iterations, Springer, Berlin, (2008).
I. K. Argyros, Computational theory of iterative methods, Stud. Comput. Math., 15 (2007).
I. K. Argyros, A. A. Magrenan, Iterative methods and their dynamics with applications: a contemporary study, CRC Press, Taylor and Francis, Boca Raton, Florida (2017).
B. B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, Freeman, San Francisco (1983). DOI: https://doi.org/10.1119/1.13295
C. Chun, B. Neta, P. Stanica, Third-order family of methods in Banach spaces, Comput. and Math. Appl., 234, № 61, 1665 – 1675 (2011), https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.01.034 DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.01.034
J. Chen, I. K. Argyros, R. P. Agarwal, Majorizing functions and two-point Newton-type methods, J. Comput. and Appl. Math., 234, № 5, 1473 – 1484 (2010), https://doi.org/10.1016/j.cam.2010.02.024 DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2010.02.024
J. A. Ezquerro, M. A. Hernndez, M. A. Salanova, A Newton-like method for solving some boundary value problems, J. Numer. Funct. Anal. and Optim., 23, № 7-8, 791 – 805 (2002), https://doi.org/10.1081/NFA-120016270 DOI: https://doi.org/10.1081/NFA-120016270
P. Jarratt, Some fourth order multipoint iterative methods for solving equations, Math. Comp., 20, 434 – 437 (1966), https://doi.org/10.1093/comjnl/8.4.398 DOI: https://doi.org/10.1090/S0025-5718-66-99924-8
P. K. Parida, D. K. Gupta, Recurrence relations for a Newton-like method in Banach spaces, J. Comput. and Appl. Math., 206, 873 – 887 (2007), https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.08.027 DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.08.027
L. B. Rall, Computational solution of nonlinear operator equations, R. E. Krieger, New York (1979).
M. A. H. Veron, E. Martinez, On the semilocal convergence of a three steps Newton-type iterative process under mild convergence conditions, Numer. Algorithms, 70, № 2, 377 – 392 (2015), https://doi.org/10.1007/s11075-014-9952-7 DOI: https://doi.org/10.1007/s11075-014-9952-7
M. K. Singh, A. K. Singh, Variant of Newton’s method using Simpson’s 3/8th rule, Int. J. Appl. Comput., 6, № 20, (2020), https://doi.org/10.1007/s40819-020-0770-4 DOI: https://doi.org/10.1007/s40819-020-0770-4
M. K. Singh, A. K. Singh, The optimal order Newton’s like methods with dynamics, Mathematics, 9, No. 5 (2021); https://doi.org/10.3390/math9050527. DOI: https://doi.org/10.3390/math9050527
M. K. Singh, A six-order variant of Newton’s method for solving non linear equations, Comput. Methods Sci. and Technol., 15, № 2, 185 – 193 (2009). DOI: https://doi.org/10.12921/cmst.2009.15.02.185-193
L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Funtional analysis, Pergamon Press, Oxford (1982).
Kalyanasundaram Madhu, Semilocal convergence of sixth order method by using recurrence relations in Banach spaces, Appl. Math. E-Notes, 18, 197 – 208 (2018).
J. Ortega, W. Rheinholdt, Iterative solution of nonlinear equations in several variables, Acad. Press, New York (1970).
A. M. Ostrowski, Solutions of equations and systems of equations, Acad. Press, New York, London (1966).
M. Scott, B. Neta, C. Chun, Basin attractors for various methods, Appl. Math. and Comput., 218, № 2, 2584 – 2599 (2011), https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.07.076 DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.07.076
J. F. Traub, Iterative methods for the solution of equations, Prentice-Hall, Clifford, NJ (1964).
K.Wang, J. Kou, C. Gu, Semilocal convergence of a sixth-order Jarratt method in Banach spaces, Numer. Algorithms, 57, 441 – 456 (2011), https://doi.org/10.1007/s11075-010-9438-1 DOI: https://doi.org/10.1007/s11075-010-9438-1
Q. Wu, Y. Zhao, Third-order convergence theorem by using majorizing functions for a modified Newton’s method in Banach spaces, Appl. Math. and Comput., 175, 1515 – 1524 (2006), https://doi.org/10.1016/j.amc.2005.08.043 DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2005.08.043
E. R. Vrscay, W. J. Gilbert, Extraneous fixed points, Basin boundaries and chaotic dynamics for Schr¨oder and K¨onig rational iteration functions, Numer. Math., 52, № 1, 1 – 16 (1987), https://doi.org/10.1007/BF01401018 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01401018
Авторські права (c) 2022 A. K. Singh, M. K. Singh
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
