Еквiвалентнiсть матриць у кiльцi $M(n, R)$ та в його пiдкiльцях

Н. С. Джалюк; В. М. Петричкович

doi:10.37863/umzh.v73i12.6858

Н. С. Джалюк Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України https://orcid.org/0000-0001-5114-3296
В. М. Петричкович Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i12.6858

Ключові слова: кiльце матриць, пiдкiльце блочно-трикутних матриць, пiдкiльце блочно-дiагональних матриць, еквiвалентнiсть, нормальна форма Смiта.

Анотація

УДК 512.64+512.55

Розглянуто еквiвалентнiсть матриць у кiльцi $M(n, R)$ та в його пiдкiльцях $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ блочно-трикутних i $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$ блочно-дiагональних матриць, де $R$ комутативна область головних iдеалiв, та дослiджено їхнi зв’язки.
Встановлено, що коли блочно-трикутнi матрицi блочно дiагоналiзовнi, тобто еквiвалентнi до своїх головних блочних дiагоналей, то вони еквiвалентнi у пiдкiльцi $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$ блочно-трикутних матриць тодi i тiльки тодi, коли їх головнi блочнi дiагоналi еквiвалентнi у пiдкiльцi $M_{BD} (n_1, . . . , n_k, R)$ блочно-дiагональних матриць, тобто їхнi вiдповiднi дiагональнi блоки еквiвалентнi. Доведено також, що якщо блочно-трикутнi матрицi $A$ i $B$ з нормальними формами Смiта $S(A) = S(B)$ еквiвалентнi до нормальних форм Смiта в пiдкiльцi $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$, то цi блочно-трикутнi матрицi еквiвалентнi i в пiдкiльцi $M_{BT} (n_1, . . . , n_k, R)$.

Посилання

A. Dmytryshyn, B. K˚agstr¨om, Coupled Sylvester-type matrix equations and block diagonalization, SIAM J. Matrix Anal. and Appl., 36, № 2, 580 – 593 (2015); https://doi.org/10.1137/151005907 DOI: https://doi.org/10.1137/151005907

W. E. Roth, The equations $AX-YB=C$ and $AX-XB=C$ in matrices, Proc. Amer. Math. Soc., 3, 392 – 396 (1952); https://doi.org/10.2307/2031890 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1952-0047598-3

R. B. Feinberg, Equivalence of partioned matrices, J. Res. Natl. Bur. Stand., B, 80B, № 1, 89 – 97 (1976). DOI: https://doi.org/10.6028/jres.080B.015

W. H. Gustafson, Roth’s theorem over commutative rings, Linear Algebra and Appl., 23, 245 – 251 (1979); https://doi.org/10.1016/0024-3795(79)90106-X DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(79)90106-X

N. S. Dzhaliuk, V. M. Petrychkovych, Solutions of the matrix linear bilateral polynomial equation and their structure, Algebra Discrete Math., 27, № 2, 243 – 251 (2019).

V. M. Bondarenko, Zobrazhennia helfandovykh hrafiv, Pratsi In-t matematyky NAN Ukrainy, Kyiv (2005).

V. V. Sergeichuk, Canonical matrices and related questions, Pratsi In-t matematyky NAN Ukrainy, Kyiv , 57 (2006).

I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman, Matrix polynomials, Academic Press, New York (1982).

V. M. Petrychkovich, Cell-triangular and cell-diagonal factorizations of cell-triangular and cell-diagonal polynomial matrices, Math. Notes., 37, № 6, 431 – 435 (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01157677

V. M. Petrychkovich, Uzahalnena ekvivalentnist matryts i yikh naboriv ta faktoryzatsiia matryts nad kiltsiamy, In-t prykl. probl. mekhaniky i matematyky NAN Ukrainy, Lviv (2015).

S. Chen, Y. Tian, On solutions of generalized Sylvester equation in polynomial matrices, J. Franklin Inst., 351, № 12, 5376 – 5385 (2014); https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2014.09.024 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2014.09.024

F. Martins, E. Pereira, Block matrices and stability theory, Tatra Mt. Math. Publ., 38, 147 – 162 (2007).

M. Newman, The smith normal form of a partitioned matrices, J. Res. Natl. Bur. Stand., B. Math. Sci., 78B, № 1, 3 – 6 (1974). DOI: https://doi.org/10.6028/jres.078B.002

V. Petrychkovych, N. Dzhaliuk, Factorizations in the rings of the block matrices, Bul. Acad. ¸ Stiin¸te Repub. Mold. Mat., 85, № 3. 23 – 33 (2017).

V. Shchedryk, Arithmetic of matrices over rings, Pidstryhach Inst. Appl. Probl. Mech. Math. of NAS of Ukraine, Akademperiodyka, Kyiv (2021). DOI: https://doi.org/10.15407/akademperiodika.430.278